Sejam E=(e1, e2, e3), F=(f1, f2, f3) e G=(g1, g2, g3) bases, com
ll e1=raiz32 f1-12 f3 & g1=e1+e2+e3 e2=12 f1+raiz32 f3 & g2=e1+e2 e3=f2 & g3=e1
Ache todas as matrizes de mudança.

Passo 1

O enunciado nos dá três bases de um espaço vetorial de dimensão 3:
E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3),
F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) e
G=(overrightarrow g1,overrightarrow g2,overrightarrow g3),
com as expressões
overrightarrow e1=tfracraiz32,overrightarrow f1-tfrac12,overrightarrow f3, overrightarrow e2=tfrac12,overrightarrow f1+tfracraiz32,overrightarrow f3, overrightarrow e3=overrightarrow f2,
e
overrightarrow g1=overrightarrow e1+overrightarrow e2+overrightarrow e3, overrightarrow g2=overrightarrow e1+overrightarrow e2, overrightarrow g3=overrightarrow e1
Precisamos encontrar as matrizes de mudança de cada base para as outras, isto é, os seis operadores de mudança de base entre E,F,G.

Passo 2

Construímos a matriz de mudança de E para F, MF E, cujas colunas são as coordenadas de overrightarrow ej na base F. Da definição:
overrightarrow e1=(tfracraiz32,0,-tfrac12)F,
overrightarrow e2=(tfrac12,0,tfracraiz32)F,
overrightarrow e3=(0,1,0)F.
Logo
MF E = tfracraiz32 & tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 -tfrac12 & tfracraiz32 & 0

Passo 3

Como MF E é uma rotação no plano (f1,f3), sua inversa é sua transposta. Assim a matriz de mudança de F para E é
ME F =l(MF Er)^-1 =l(MF Er)^T = tfracraiz32 & 0 & -tfrac12 tfrac12 & 0 & tfracraiz32 0 & 1 & 0

Passo 4

Agora a matriz de mudança de G para E, ME G, tem colunas dadas pelas coordenadas de overrightarrow gj na base E:
overrightarrow g1=(1,1,1)E,
overrightarrow g2=(1,1,0)E,
overrightarrow g3=(1,0,0)E.
Logo
ME G = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0

Passo 5

Invertendo ME G (determinante -1), obtemos a matriz de E para G, MG E. O inverso calculado é
MG E =l(ME Gr)^-1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0

Passo 6

Para obter a matriz de mudança direta de G para F, usamos composição
MF G = MF E,cdot,ME G = tfracraiz3+12 & tfracraiz3+12 & tfracraiz32 1 & 0 & 0 tfracraiz3-12 & tfracraiz3-12 & -tfrac12

Passo 7

Finalmente, a matriz de F para G é o inverso de MF G ou a composição
MG F = MG E,cdot,ME F = 0 & 1 & 0 tfrac12 & -1 & tfracraiz32 tfracraiz3-12 & 0 & -tfracraiz3+12

Resposta

MF E = tfracraiz32 & tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 -tfrac12 & tfracraiz32 & 0 , ME F = tfracraiz32 & 0 & -tfrac12 tfrac12 & 0 & tfracraiz32 0 & 1 & 0
ME G = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 , MG E = 0 & 0 & 1 0 & 1 & -1 1 & -1 & 0
MF G = tfracraiz3+12 & tfracraiz3+12 & tfracraiz32 1 & 0 & 0 tfracraiz3-12 & tfracraiz3-12 & -tfrac12 , MG F = 0 & 1 & 0 tfrac12 & -1 & tfracraiz32 tfracraiz3-12 & 0 & -tfracraiz3+12

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