Calcule o comprimento de arco
2. 13(2+x^2)^3 / 2, 0 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = tfrac13(2 + x^2)^3/2, 0 <= x <= 3
Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma função y=f(x) no intervalo [a,b]:
S = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada de
y = tfrac13(2 + x^2)^3/2
Pela regra da cadeia e da potência,
y' = tfrac13cdot tfrac32(2 + x^2)^1/2cdot 2x = x,(2 + x^2)^1/2

Passo 3

Agora formamos o integrando:
1 + l(y'r)^2 = 1 + x^2(2 + x^2) = x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2
Como x varia de 0 a 3, temos
raiz1 + (y')^2 = x^2 + 1.

Passo 4

Substituindo na integral do comprimento de arco:
S = integral0^3 (x^2 + 1);dx
Calculamos:
S = [x^33 + x]0^3 = l(9 + 3r) - 0 = 12

Resposta

O comprimento de arco é 12.

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