Considere o arco de catenária definido pela equação y=1+2 cosh (x2), sendo -1 <= x <= 1. Calcule o comprimento desse arco de catenária.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y = 1 + 2coshl(x2r),
para -1<= x<=1, e pede o comprimento de arco. Vamos usar a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2,dx
e a identidade hiperbólica
1 + sinh^2 t = cosh^2 t

Passo 2

Calculamos a derivada de y. Como
y(x) = 1 + 2coshl(x2r),
temos
y'(x) = 2cdotsinhl(x2r)cdot12 = sinhl(x2r)

Passo 3

Montamos o integrando:
1+l(y'(x)r)^2 =1+sinh^2l(x2r) =cosh^2l(x2r),
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raiz1+l(y'(x)r)^2 =coshl(x2r)

Passo 4

Substituindo na fórmula de comprimento:
L = integral-1^1 coshl(x2r),dx

Passo 5

A integral de cosh(tfracx2) é
integral coshl(x2r),dx =2,sinhl(x2r)+C
Portanto
L =2l[sinhl(tfracx2r)r]-1^1 =2l(sinhtfrac12 - sinh(-tfrac12)r) =4sinh!l(tfrac12r)

Resposta

L = 4,sinh!l(tfrac12r)

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