Considere o arco de catenária definido pela equação y=1+2 cosh (x2), sendo -1 <= x <= 1. Calcule a área da superfície obtida pela rotação dessa catenária em torno do eixo -x.

Passo 1

O enunciado quer a área da superfície gerada ao rotacionar o arco de catenária
y = 1 + 2 cosh!l(tfracx2r), -1 <= x <= 1
em torno do eixo x.
O conteúdo é “superfície de revolução” e vamos usar a fórmula
S = 2pi integrala^b y,raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y:
y(x) = 1 + 2 cosh!l(tfracx2r) Longrightarrow y'(x) = 2 cdot sinh!l(tfracx2r)cdot tfrac12 = sinh!l(tfracx2r)
Logo
raiz1 + l(y'(x)r)^2 = raiz1 + sinh^2!l(tfracx2r) = cosh!l(tfracx2r),
pois cosh^2u - sinh^2u = 1.

Passo 3

Substituindo na fórmula de S, obtemos
S = 2pi integral-1^1 l[,1 + 2cosh!l(tfracx2r)r], cosh!l(tfracx2r);dx
Expandindo o integrando:
l(1 + 2cosh ur)cosh u = cosh u + 2cosh^2u, onde u=tfracx2

Passo 4

Fazemos a troca de variável u = x/2, então dx = 2,du e os limites vão de u=-tfrac12 a u=+tfrac12. Assim
S = 2pi integralx=-1^1 l[cosh(u)+2cosh^2(u)r],dx = 2pi integralu=-tfrac12^tfrac12 l[cosh(u)+2cosh^2(u)r],2,du =4piintegral-tfrac12^tfrac12l[cosh(u)+2cosh^2(u)r]du

Passo 5

Calculamos as duas integrais:
integralcosh(u),du = sinh(u), integralcosh^2(u),du = integral1+cosh(2u)2,du = u2 + sinh(2u)4 = u2 + sinh(u)cosh(u)2
Logo,
I = integral-tfrac12^tfrac12cosh(u),du + 2integral-tfrac12^tfrac12cosh^2(u),du = l[sinh(u)r]-tfrac12^tfrac12 +2l[tfracu2+tfracsinh(u)cosh(u)2r]-tfrac12^tfrac12
Usando que sinh é ímpar e cosh é par, chega-se a
I = 2sinh!l(tfrac12r);+;l[1 + sinh(1)r] = 1 + sinh(1) + 2sinh!l(tfrac12r)
Portanto
S = 4pi,I =4pil[1 + sinh(1) + 2sinh!l(tfrac12r)r]

Resposta

S = 4pil[1 + sinh(1) + 2sinh!l(tfrac12r)r]

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