Considere o arco de catenária definido pela equação
, sendo
. Calcule a área da superfície obtida pela rotação dessa catenária em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado quer a área da superfície gerada ao rotacionar o arco de catenária
em torno do eixo
.
O conteúdo é “superfície de revolução” e vamos usar a fórmula
O conteúdo é “superfície de revolução” e vamos usar a fórmula
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
:
Logo
pois
.
Passo 3
Substituindo na fórmula de
, obtemos
Expandindo o integrando:
Passo 4
Fazemos a troca de variável
, então
e os limites vão de
a
. Assim
Passo 5
Calculamos as duas integrais:
Logo,
Usando que
é ímpar e
é par, chega-se a
Portanto