Calcule o comprimento de arco
3. y=3 x^3 / 2-1,0 <= x <= 1

Passo 1

Estamos calculando o comprimento de arco da curva y=3x^{3/2}−1, no intervalo 0≤x≤1; o assunto é comprimento de arco e vamos precisar da fórmula
L=integrala^braiz1+l(y'(x)r)^2,dx

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada y’(x). Como y=3x^{3/2}−1, temos
y'(x)=3cdot32x^1/2=92raizx

Passo 3

Substituímos em 1+(y’)^2 para montar o integrando:
1+l(y'(x)r)^2=1+l(92raizxr)^2=1+814x=4+81x4
Logo
raiz1+(y')^2=12raiz4+81x
Então o comprimento é
L=integral0^112raiz4+81x,dx

Passo 4

Para calcular
integralraiz4+81x,dx
usamos a substituição u=4+81x, du=81dx, ou a fórmula direta
integralraiza+bx,dx=23b(a+bx)^3/2
Aplicando com a=4 e b=81, obtemos
integralraiz4+81x,dx=2243(4+81x)^3/2
Multiplicando por 1/2 vem
L=1243(4+81x)^3/2|0^1

Passo 5

Agora avaliamos nos limites x=0 e x=1:
L=1243l[(4+81cdot1)^3/2-(4+81cdot0)^3/2r]=1243l[85^3/2-4^3/2r]=85raiz85-8243

Resposta

L=85raiz85-8243

Exercícios relacionados