Encontre o ponto da reta
que é mais próximo do ponto (4,4). (Dica: minimize a função distância ao quadrado. A distância ao quadrado entre um ponto
e um ponto
qualquer é
. Transforme-a em uma função de apenas uma variável).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o ponto na reta
que está mais próximo do ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Vamos considerar um ponto qualquer na reta
. Podemos chamar esse ponto de
, onde
. Queremos encontrar a distância entre esse ponto
e o ponto
.
Passo 3
A fórmula para a distância ao quadrado entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso aos nossos pontos, temos:
Passo 4
Como sabemos que
, podemos substituir
na fórmula da distância:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Somando os dois:
Passo 6
Agora temos uma função quadrática em
:
Para encontrar o mínimo dessa função (que corresponde à menor distância), precisamos encontrar o valor de
que minimiza
.
Passo 7
Para minimizar a função quadrática, podemos calcular a derivada e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 8
Com
, substituímos na equação da reta para encontrar
:
Resposta
O ponto na reta
que está mais próximo de
é
.