Encontre o ponto da reta y=3x+2 que é mais próximo do ponto (4,4). (Dica: minimize a função distância ao quadrado. A distância ao quadrado entre um ponto (x, y) e um ponto (a, b) qualquer é d^2((x, y),(a, b))=(x-a)^2+(y-b)^2. Transforme-a em uma função de apenas uma variável).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o ponto na reta y = 3x + 2 que está mais próximo do ponto (4, 4) . Para isso, vamos usar o conceito de distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Vamos considerar um ponto qualquer na reta y = 3x + 2 . Podemos chamar esse ponto de (x, y) , onde y = 3x + 2 . Queremos encontrar a distância entre esse ponto (x, y) e o ponto (4, 4) .

Passo 3

A fórmula para a distância ao quadrado entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d^2 = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2
Aplicando isso aos nossos pontos, temos:
d^2 = (x - 4)^2 + (y - 4)^2

Passo 4

Como sabemos que y = 3x + 2 , podemos substituir y na fórmula da distância:
d^2 = (x - 4)^2 + (3x + 2 - 4)^2
Simplificando dentro dos parênteses:
d^2 = (x - 4)^2 + (3x - 2)^2

Passo 5

Vamos expandir os termos:
(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16
(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4
Somando os dois:
d^2 = x^2 - 8x + 16 + 9x^2 - 12x + 4 = 10x^2 - 20x + 20

Passo 6

Agora temos uma função quadrática em x :
d^2 = 10x^2 - 20x + 20
Para encontrar o mínimo dessa função (que corresponde à menor distância), precisamos encontrar o valor de x que minimiza d^2 .

Passo 7

Para minimizar a função quadrática, podemos calcular a derivada e igualar a zero:
ddx(d^2) = 20x - 20 = 0
Resolvendo para x :
20x - 20 = 0 Rightarrow x = 1

Passo 8

Com x = 1 , substituímos na equação da reta para encontrar y :
y = 3(1) + 2 = 5

Resposta

O ponto na reta y = 3x + 2 que está mais próximo de (4, 4) é (1, 5) .

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