Calcule o comprimento de arco da curva x=2 c^t-t c y=8 c^t2 para 0<t<1.

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica em que
x(t)=2,c^t-t, y(t)=8,c^tfract2,
para 0<t<1.
Queremos o comprimento de arco
L=integral0^1raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt
Vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica no plano.

Passo 2

Calculemos as derivadas de x e y em função de t.
x'(t)=ddtl(2,c^t-tr) =2,c^tln(c);-;1,
y'(t)=ddtl(8,c^tfract2r) =8cdot12,c^tfract2ln(c) =4,c^tfract2ln(c)

Passo 3

Formamos o integrando
l(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =l(2,c^tln(c)-1r)^2 +l(4,c^tfract2ln(c)r)^2
Logo o comprimento é
L =integral0^1 raiz l(2,c^tln(c)-1r)^2 +16,c^tl(ln(c)r)^2 ;dt

Passo 4

Para ver se esse integrando simplifica, fazemos a substituição
u=c^tfrac t2, du=12,c^tfrac t2ln(c),dt Longrightarrow dt=2,duu,ln(c)
Note que c^t=u^2. O integrando torna–se um radical em u,
mas para c genérico não se reduz a um quadrado perfeito, de modo que a forma fechada só aparece em casos especiais (por exemplo c=e^1/2).

Resposta

L =integral0^1 raizl(2,c^tln(c)-1r)^2 +16,c^tl(ln(c)r)^2 ;dt

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