Encontre uma equação polar para uma parábola que possui foco (2,-1) e cuja a diretriz é a reta y=-2

Passo 1

O enunciado pede a equação em coordenadas polares de uma parábola cujo foco é (2,-1) e cuja diretriz é a reta y=-2.
Conteúdo: seções cônicas no plano e definição de parábola via razão entre distância a um foco e distância a uma diretriz, com excentricidade e=1. Em seguida, traduzimos tudo para coordenadas polares (r,theta), onde
x=rcostheta, y=rsintheta

Passo 2

Distância de um ponto (x,y) ao foco (2,-1):
dF=raiz(x-2)^2+(y+1)^2
Distância do ponto à diretriz y=-2:
dD=l|y -(-2)r|=l|y+2r|
Pela definição de parábola ( e=1), impomos
dF = dD

Passo 3

Substituindo x=rcostheta e y=rsintheta na igualdade dF=dD, obtemos
raizl(rcostheta-2r)^2+l(rsintheta+1r)^2 =l|rsintheta+2r|

Passo 4

Elevando ao quadrado (e lembrando que a parábola fica do lado onde rsintheta+2>=0), obtemos
(rcostheta-2)^2+(rsintheta+1)^2=(rsintheta+2)^2
Expandindo e simplificando:
r^2cos^2theta -4rcostheta -2rsintheta +1=0

Passo 5

Isso é uma equação quadrática em r:
cos^2theta;r^2-l(4costheta+2sinthetar)r+1=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
r=4costheta+2sinthetapmraiz(4costheta+2sintheta)^2-4cos^2thetacdot12cos^2theta
O discriminante é
(4costheta+2sintheta)^2-4cos^2theta =4l(3cos^2theta+4costhetasintheta+sin^2thetar)
Portanto
r=4costheta+2sinthetapm2raiz3cos^2theta+4costhetasintheta+sin^2theta2cos^2theta =2costheta+sinthetapmraiz3cos^2theta+4costhetasintheta+sin^2thetacos^2theta
Como queremos r>=0, escolhemos o sinal “ +”.

Resposta

Uma forma implícita mais compacta da parábola em polares é
r^2cos^2theta-4rcostheta-2rsintheta+1=0
Se quisermos r explicitamente em função de theta, fica
r(theta) =2costheta+sintheta+raiz3cos^2theta+4costhetasintheta+sin^2thetacos^2theta

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