Considere a curva polar
y=4 raiz2 e^t / 2
r=e^theta, 0<theta<2 pi
Calcule os pontos onde a curva possui reta tangente horizontal e vertical.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = e^theta, 0<theta<2pi
e pede os pontos em que a tangente à curva é horizontal e os pontos em que ela é vertical. Vamos usar a representação paramétrica em x e y em função de theta e então analisar tfracdydx=tfrac(dy/dtheta)(dx/dtheta).

Passo 2

Escrevemos as equações paramétricas e suas derivadas:
x(theta)=rcostheta = e^thetacostheta, y(theta)=e^thetasintheta
Derivando em relação a theta:
dxdtheta = ddthetal(e^thetacosthetar) = e^thetacostheta - e^thetasintheta = e^thetal(costheta - sinthetar),
dydtheta = ddthetal(e^thetasinthetar) = e^thetasintheta + e^thetacostheta = e^thetal(sintheta + costhetar)
Logo a inclinação da reta tangente é
dydx = dydthetadxdtheta = sintheta + costhetacostheta - sintheta

Passo 3

Tangente horizontal ocorre quando tfracdydx=0 e tfracdxdthetaneq0. Assim impomos
sintheta + costheta = 0 Longrightarrow tantheta = -1 Longrightarrow theta = tfrac3pi4,;tfrac7pi4
(no intervalo (0,2pi)), e conferimos que costheta-sinthetaneq0 nesses valores. Os pontos são
para theta=tfrac3pi4: x=-raiz22e^3pi/4, y= raiz22e^3pi/4,
para theta=tfrac7pi4: x= raiz22e^7pi/4, y=-raiz22e^7pi/4

Passo 4

Tangente vertical ocorre quando tfracdxdtheta=0 e tfracdydthetaneq0. Assim impomos
costheta - sintheta = 0 Longrightarrow tantheta = 1 Longrightarrow theta = tfracpi4,;tfrac5pi4,
checando que sintheta+costhetaneq0 aí. Os pontos são
para theta=tfracpi4: x= raiz22e^pi/4, y= raiz22e^pi/4,
para theta=tfrac5pi4: x=-raiz22e^5pi/4, y=-raiz22e^5pi/4

Resposta

Pontos de reta tangente horizontal:
l(-tfracraiz22e^3pi/4,,tfracraiz22e^3pi/4r), l(tfracraiz22e^7pi/4,,-tfracraiz22e^7pi/4r)
Pontos de reta tangente vertical:
l(tfracraiz22e^pi/4,,tfracraiz22e^pi/4r), l(-tfracraiz22e^5pi/4,,-tfracraiz22e^5pi/4r)

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