Calcule o comprimento do arco da curva dada na forma paramétrica.
lx=a cos t y=a sent , t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
x = acos t, y = asin t, tin[0,2pi]
Aqui o conteúdo é comprimento de arco de uma curva dada parametrizada. Vamos usar a fórmula geral de comprimento de arco em função de t.

Passo 2

A fórmula de comprimento de arco para uma curva parametrizada por t de t0 até t1 é
L = integralt0^t1 raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2,dt
No nosso caso t0=0 e t1=2pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
tfracdxdt = -asin t, tfracdydt = acos t

Passo 4

Substituindo na raiz do integrando:
raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2 = raiz(-asin t)^2 + (acos t)^2 = raiza^2sin^2 t + a^2cos^2 t = raiza^2 = a,
pois a>0.

Passo 5

Então o comprimento de arco é
L = integral0^2pi a,dt = al[tr]0^2pi = 2pi a

Resposta

O comprimento do arco é 2pi a.

Exercícios relacionados