Use a regra da cadeia para encontrar partial zpartial s e partial zpartial t
z=ln (x^2+y^2), x=s cos t, y=s sen t

Passo 1

O enunciado define a função
z = lnl(x^2 + y^2r)
com as variáveis de entrada
x = scos t, y = ssin t
Queremos as derivadas parciais partial zpartial s e partial zpartial t usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z=ln(u) com u=x^2+y^2, tem-se
partial zpartial x = 1u,partialpartial x(x^2+y^2) = 1x^2+y^2cdot 2x = 2xx^2+y^2,
partial zpartial y = 1x^2+y^2cdot 2y = 2yx^2+y^2

Passo 3

Em seguida, derivamos x e y em relação a s e t:
partial xpartial s = cos t, partial ypartial s = sin t,
partial xpartial t = -ssin t, partial ypartial t = scos t

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial s:
partial zpartial s = partial zpartial x,partial xpartial s + partial zpartial y,partial ypartial s = 2xx^2+y^2cos t + 2yx^2+y^2sin t = 2l(xcos t + ysin tr)x^2+y^2
Mas xcos t + ysin t = scos^2t + ssin^2t = s e x^2+y^2 = s^2, logo
partial zpartial s = 2ss^2 = 2s

Passo 5

Finalmente, para partial zpartial t:
partial zpartial t = partial zpartial x,partial xpartial t + partial zpartial y,partial ypartial t = 2xx^2+y^2(-ssin t) + 2yx^2+y^2(scos t) = 2sl(-xsin t + ycos tr)s^2
Mas -xsin t + ycos t = -scos tsin t + ssin tcos t = 0, portanto
partial zpartial t = 0

Resposta

partial zpartial s = 2s, partial zpartial t = 0

Exercícios relacionados