Use a derivação implícita para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y
x^2 y+x y z+y z^2=2

Passo 1

Temos a equação implícita
x^2y ;+; x,y,z ;+; y,z^2 ;=; 2
e queremos encontrar partial z/partial x e partial z/partial y. Como z é função de (x,y) indeterminada pela equação acima, vamos usar derivação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x (tratando y como constante e z=z(x,y) sujeito à cadeia), temos:
  • dfracpartialpartial x(x^2y)=2x,y
  • dfracpartialpartial x(x,y,z)=y,z + x,y,dfracpartial zpartial x (produto de x e z)
  • dfracpartialpartial x(y,z^2)=ycdot2z,dfracpartial zpartial x (cadeia sobre z^2)
    Somando e igualando a zero:
2x,y + l(y,z + x,y,tfracpartial zpartial xr) + l(2y,z,tfracpartial zpartial xr) = 0
Agrupando os termos com partial z/partial x:
x,y,partial zpartial x + 2y,z,partial zpartial x = -l(2x,y + y,zr)
Logo
partial zpartial x = -2x,y + y,zx,y + 2y,z = -y(2x+z)y(x+2z) = -2x+zx+2z

Passo 3

Agora derivamos em relação a y (tratando x como constante):
  • dfracpartialpartial y(x^2y)=x^2
  • dfracpartialpartial y(x,y,z)=x,z + x,y,dfracpartial zpartial y
  • dfracpartialpartial y(y,z^2)=z^2 + ycdot2z,dfracpartial zpartial y
    Somando e igualando a zero:
x^2 + l(x,z + x,y,tfracpartial zpartial yr) + l(z^2 + 2y,z,tfracpartial zpartial yr) = 0
Agrupando os termos com partial z/partial y:
x,y,partial zpartial y + 2y,z,partial zpartial y = -l(x^2 + x,z + z^2r)
Logo
partial zpartial y = -x^2 + x,z + z^2x,y + 2y,z = -x^2 + xz + z^2y,(x+2z)

Resposta

boxed partial zpartial x ;=; -2x+zx+2z e partial zpartial y ;=; -x^2 + xz + z^2y,(x+2z)

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