Quais as condições para que se possa determinar o comprimento de uma curva x=f(t) e y=g(t) num determinado intervalo? Apresente a fórmula que determina tal medida.

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas claras: (1) quais são as condições necessárias/suficientes para que se possa determinar o comprimento de uma curva dada por x=f(t) e y=g(t) em um certo intervalo de parâmetro; (2) qual é a fórmula que dá esse comprimento.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): a curva é dada parametricamente por x=f(t) e y=g(t) para t variando em um intervalo [a,b]. Não há outras hipóteses adicionais no enunciado, então devemos explicitar quais hipóteses precisamos impor sobre f e g para que a fórmula faça sentido.

Passo 2

Ideia básica (intuição antes da fórmula): aproximamos a curva por uma linha poligonal que liga pontos sucessivos na curva (para isto escolhemos uma partição a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b). O comprimento aproximado dessa poligonal é a soma dos comprimentos dos segmentos:
S_n=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\bigl(x(t_i)-x(t_{i-1})\bigr)^2+\bigl(y(t_i)-y(t_{i-1})\bigr)^2}.
Se, ao refinar a partição (isto é, o máximo dos comprimentos \Delta t_i=t_i-t_{i-1} tende a zero), esses comprimentos aproximados S_n convergirem para um limite finito independente da escolha dos pontos, dizemos que a curva é “rectificável” e esse limite é o comprimento da curva. Agora vamos ver condições práticas que garantem essa convergência e levarão à fórmula integral.

Passo 3

Uso do teorema do valor médio e passagem para soma de Riemann: suponha que f e g sejam diferenciáveis em [a,b] e que f' e g' sejam contínuas em [a,b] (isto é, f,g\in C^1([a,b])). Então, por cada subintervalo [t_{i-1},t_i] existe \xi_i\in(t_{i-1},t_i) tal que
x(t_i)-x(t_{i-1})=f'( \xi_i)\,\Delta t_i, \qquad y(t_i)-y(t_{i-1})=g'( \xi_i)\,\Delta t_i.
Substituindo em S_n obtemos (para partições finas)
S_n=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\bigl(f'(\xi_i)\bigr)^2+\bigl(g'(\xi_i)\bigr)^2}\,\Delta t_i.
Isto é exatamente uma soma de Riemann para a função h(t)=\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}. Como f' e g' são contínuas, h também é contínua e, portanto, Riemann-integrável. Assim, ao refinar a partição,
\lim_{n\to\infty} S_n=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}\,dt.
Isso mostra a passagem da soma de segmentos para a integral.

Passo 4

Resumo das condições (explicadas de forma simples): uma condição suficiente e prática que você pode usar na prova é:
  • f e g devem ser diferenciáveis em [a,b] e ter derivadas contínuas em [a,b] (ou seja, f,g\in C^1([a,b])).
    Por que essa condição é boa? Porque garante que a função integrando h(t)=\sqrt{(f'(t))^2+(g'(t))^2} é contínua e, portanto, integrável; além disso garante que a aproximação por polígonos converge para essa integral.
    Observação prática: se f e g forem apenas "piecewise C^1" (isto é, C^1 em cada subintervalo de uma partição finita de [a,b]), então a curva ainda é rectificável e o comprimento é a soma das integrais em cada pedaço (basta somar os comprimentos das partes). Se as derivadas não exist em muitas pontos ou a função é muito irregular (p.ex. função contínua mas não diferenciável em muitos pontos), a curva pode não ser rectificável (comprimento infinito) ou exigir teorias mais avançadas.

Passo 5

Apresentação explícita da fórmula e explicação dos símbolos: sob as hipóteses acima ( f,g\in C^1([a,b])), o comprimento L da curva parametrizada por x=f(t),\,y=g(t) para t\in[a,b] é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}\,dt.
Explicação de cada símbolo:
  • t é o parâmetro que varia no intervalo [a,b].
  • f'(t)=\dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t.
  • g'(t)=\dfrac{dy}{dt} é a derivada de y em relação a t.
  • A expressão \sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2} é a norma do vetor tangente \bigl(f'(t),g'(t)\bigr) e representa a velocidade escalar da parametrização; a integral dessa velocidade sobre o tempo/intervalo dá o comprimento total.

Passo 6

Como aplicar isso rapidamente na prova (passo prático): calcule f'(t) e g'(t), forme \sqrt{(f')^2+(g')^2}, verifique se dá para simplificar (às vezes cai numa constante ou numa função fácil de integrar), e então integre de a até b. Se a parametrização for apenas piecewise C^1, divida o intervalo nos trechos onde as derivadas são contínuas e some as integrais.

Passo 7

Dois exemplos curtos para fixar:
  • Circunferência de raio R: x=R\cos t,\; y=R\sin t,\; t\in[0,2\pi]. Aqui f'(t)=-R\sin t,\; g'(t)=R\cos t. Então
\sqrt{(f')^2+(g')^2}=\sqrt{R^2\sin^2 t+R^2\cos^2 t}=R,
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L=\int_{0}^{2\pi}R\,dt=2\pi R.
  • Segmento de reta (parametrização linear): x=t,\; y=2t,\; t\in[0,3]. Aqui f'(t)=1,\; g'(t)=2. Então
\sqrt{(f')^2+(g')^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
e
L=\int_{0}^{3}\sqrt{5}\,dt=3\sqrt{5}.

Resposta

Condição suficiente: f e g são diferenciáveis em [a,b] com f',g' contínuas em [a,b] (ou, mais geralmente, f e g são piecewise C^1 em [a,b]).\n L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(f'(t)\bigr)^2+\bigl(g'(t)\bigr)^2}\,dt.

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