Quais as condições para que se possa determinar o comprimento de uma curva
e
num determinado intervalo? Apresente a fórmula que determina tal medida.
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas claras: (1) quais são as condições necessárias/suficientes para que se possa determinar o comprimento de uma curva dada por
e
em um certo intervalo de parâmetro; (2) qual é a fórmula que dá esse comprimento.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): a curva é dada parametricamente por e
para
variando em um intervalo
. Não há outras hipóteses adicionais no enunciado, então devemos explicitar quais hipóteses precisamos impor sobre
e
para que a fórmula faça sentido.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): a curva é dada parametricamente por
Passo 2
Ideia básica (intuição antes da fórmula): aproximamos a curva por uma linha poligonal que liga pontos sucessivos na curva (para isto escolhemos uma partição
). O comprimento aproximado dessa poligonal é a soma dos comprimentos dos segmentos:
Se, ao refinar a partição (isto é, o máximo dos comprimentos
tende a zero), esses comprimentos aproximados
convergirem para um limite finito independente da escolha dos pontos, dizemos que a curva é “rectificável” e esse limite é o comprimento da curva. Agora vamos ver condições práticas que garantem essa convergência e levarão à fórmula integral.
Passo 3
Uso do teorema do valor médio e passagem para soma de Riemann: suponha que
e
sejam diferenciáveis em
e que
e
sejam contínuas em
(isto é,
). Então, por cada subintervalo
existe
tal que
Substituindo em
obtemos (para partições finas)
Isto é exatamente uma soma de Riemann para a função
. Como
e
são contínuas,
também é contínua e, portanto, Riemann-integrável. Assim, ao refinar a partição,
Isso mostra a passagem da soma de segmentos para a integral.
Passo 4
Resumo das condições (explicadas de forma simples): uma condição suficiente e prática que você pode usar na prova é:
-
e devem ser diferenciáveis em e ter derivadas contínuas em (ou seja, ).
Por que essa condição é boa? Porque garante que a função integrandoé contínua e, portanto, integrável; além disso garante que a aproximação por polígonos converge para essa integral.
Observação prática: see forem apenas "piecewise " (isto é, em cada subintervalo de uma partição finita de ), então a curva ainda é rectificável e o comprimento é a soma das integrais em cada pedaço (basta somar os comprimentos das partes). Se as derivadas não exist em muitas pontos ou a função é muito irregular (p.ex. função contínua mas não diferenciável em muitos pontos), a curva pode não ser rectificável (comprimento infinito) ou exigir teorias mais avançadas.
Passo 5
Apresentação explícita da fórmula e explicação dos símbolos: sob as hipóteses acima (
), o comprimento
da curva parametrizada por
para
é dado por
Explicação de cada símbolo:
-
é o parâmetro que varia no intervalo . -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a . - A expressão
é a norma do vetor tangente e representa a velocidade escalar da parametrização; a integral dessa velocidade sobre o tempo/intervalo dá o comprimento total.
Passo 6
Como aplicar isso rapidamente na prova (passo prático): calcule
e
, forme
, verifique se dá para simplificar (às vezes cai numa constante ou numa função fácil de integrar), e então integre de
até
. Se a parametrização for apenas piecewise
, divida o intervalo nos trechos onde as derivadas são contínuas e some as integrais.
Passo 7
Dois exemplos curtos para fixar:
- Circunferência de raio
: . Aqui . Então
logo
- Segmento de reta (parametrização linear):
. Aqui . Então
e
Resposta
Condição suficiente:
e
são diferenciáveis em
com
contínuas em
(ou, mais geralmente,
e
são piecewise
em
).\n