As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são dadas por
e
. Qual será a distância percorrida pela partícula entre os instantes
e
?
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas da trajetória de uma partícula no plano:
Pede-se a distância percorrida pela partícula entre os instantes
e
. As informações relevantes são:
- A função
vale . - A função
vale . Observação: para podemos escrever , então . - O intervalo de tempo considerado é
.
O que queremos é o comprimento da curva paramétrica entre esses instantes.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para uma curva dada por coordenadas paramétricas e
, a distância percorrida (comprimento de arco) entre
e
é
Para uma curva dada por coordenadas paramétricas
O que isso significa:
é a velocidade na direção
(quanto
muda por unidade de tempo) e
é a velocidade na direção
. A expressão dentro da raiz é o quadrado da velocidade escalar (pela regra de Pitágoras para a componente de velocidade), e integrar essa velocidade ao longo do tempo dá a distância total percorrida. Então precisamos calcular
e
, montar a raiz e integrar de
a
.
Passo 3
Calculando as derivadas (com explicação da regra usada):
- Para
, usamos a regra: a derivada de é . Então
- Para
, usamos a regra da potência: se então . Aplicando:
Em termos mais familiares,
, então
.
Passo 4
Montando a expressão da velocidade e simplificando:
Somando,
Logo a velocidade escalar é
Portanto o comprimento é
Passo 5
Calculo da integral (passo a passo e regra usada):
Usamos a regra de potência para integrais: . Assim
Usamos a regra de potência para integrais:
Avaliamo o termo entre colchetes:
Então
Como
, podemos escrever