As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são dadas por x=3 t e y=2 \sqrt{t^{3}}. Qual será a distância percorrida pela partícula entre os instantes t=0 e t=1 ?

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas da trajetória de uma partícula no plano:
x = 3t
y = 2\sqrt{t^{3}}
Pede-se a distância percorrida pela partícula entre os instantes t=0 e t=1. As informações relevantes são:
  • A função x(t) vale 3t.
  • A função y(t) vale 2\sqrt{t^{3}}. Observação: para t\ge0 podemos escrever \sqrt{t^{3}} = t^{3/2}, então y(t)=2t^{3/2}.
  • O intervalo de tempo considerado é t\in[0,1].
    O que queremos é o comprimento da curva paramétrica entre esses instantes.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
Para uma curva dada por coordenadas paramétricas x(t) e y(t), a distância percorrida (comprimento de arco) entre t=a e t=b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
O que isso significa: \frac{dx}{dt} é a velocidade na direção x (quanto x muda por unidade de tempo) e \frac{dy}{dt} é a velocidade na direção y. A expressão dentro da raiz é o quadrado da velocidade escalar (pela regra de Pitágoras para a componente de velocidade), e integrar essa velocidade ao longo do tempo dá a distância total percorrida. Então precisamos calcular \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}, montar a raiz e integrar de 0 a 1.

Passo 3

Calculando as derivadas (com explicação da regra usada):
  • Para x(t)=3t, usamos a regra: a derivada de at é a. Então
\frac{dx}{dt}=3.
  • Para y(t)=2t^{3/2}, usamos a regra da potência: se f(t)=t^{n} então f'(t)=n t^{n-1}. Aplicando:
\frac{dy}{dt}=2\cdot\frac{3}{2}t^{3/2-1}=2\cdot\frac{3}{2}t^{1/2}=3t^{1/2}.
Em termos mais familiares, \sqrt{t}=t^{1/2}, então \frac{dy}{dt}=3\sqrt{t}.

Passo 4

Montando a expressão da velocidade e simplificando:
\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}=3^{2}=9,
\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}=(3t^{1/2})^{2}=9t.
Somando,
\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}=9+9t=9(1+t).
Logo a velocidade escalar é
\sqrt{9(1+t)}=3\sqrt{1+t}.
Portanto o comprimento é
L=\int_{0}^{1}3\sqrt{1+t}\;dt.

Passo 5

Calculo da integral (passo a passo e regra usada):
Usamos a regra de potência para integrais: \int (1+t)^{1/2}dt=\dfrac{(1+t)^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}(1+t)^{3/2}. Assim
L=3\int_{0}^{1}(1+t)^{1/2}dt=3\cdot\frac{2}{3}\Big[(1+t)^{3/2}\Big]_{0}^{1}=2\Big[(1+t)^{3/2}\Big]_{0}^{1}.
Avaliamo o termo entre colchetes:
(1+1)^{3/2}=2^{3/2} \quad\text{e}\quad (1+0)^{3/2}=1^{3/2}=1.
Então
L=2\big(2^{3/2}-1\big).
Como 2^{3/2}=2\sqrt{2}, podemos escrever
L=2\big(2\sqrt{2}-1\big)=4\sqrt{2}-2.

Resposta

4\sqrt{2}-2

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