Calcule o comprimento de arco da curva dada.
gamma(t)=(2 t-1, t+1) com t in[1,9].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica no plano, que é um conteúdo de cálculo em que usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas dadas por
gamma(t)=(x(t),y(t)), tin[a,b]
onde precisamos das derivadas de x(t) e y(t) para montar o integrando raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2. Neste exercício, vamos aplicar exatamente isso.

Passo 2

Identificamos as componentes da curva:
x(t)=2t-1, y(t)=t+1
Agora, calculamos as derivadas:
x'(t)=2, y'(t)=1
Isso nos dá um integrando constante:
raiz(x'(t))^2+(y'(t))^2 = raiz2^2+1^2 = raiz5

Passo 3

Como o integrando é constante, o comprimento de arco L é
L = integral1^9 raiz5,dt = raiz5 integral1^9 dt = raiz5,(9-1) = 8raiz5

Resposta

8raiz5

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