Dada a função f(x) encontre seu conjunto domínio.
f(x)=-5raizx^3+4 x^2+5 x+2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=-5raizx^3+4x^2+5x+2
e pede o domínio de f. O conteúdo aqui é restrição de domínio envolvendo radical no denominador. Para o denominador ser válido, o que está sob a raiz quadrada precisa ser não negativo e, como é denominador, não pode ser zero.

Passo 2

Denote
P(x)=x^3+4x^2+5x+2
Temos duas condições simultâneas:
  1. P(x)>=0 para a raiz existir em R.
  2. P(x)ne0 para o denominador não anular.
Juntando, precisamos de
P(x)>0

Passo 3

Vamos fatorar P(x) procurando raízes racionais. Testando x=-1:
P(-1)=(-1)^3+4(-1)^2+5(-1)+2=-1+4-5+2=0,
logo x=-1 é raiz. Dividindo o polinômio por x+1 obtemos
P(x)=(x+1)(x^2+3x+2)
E mais x^2+3x+2 fatora como (x+1)(x+2). Portanto
P(x)=(x+1)^2(x+2)

Passo 4

Para estudar o sinal de
P(x)=(x+1)^2(x+2)
observamos que (x+1)^2>=0 para todo x e anula só em x=-1. Então o sinal de P(x) é dado pelo sinal de x+2, desde que (x+1)^2ne0. Concluímos:
  • Se x+2>0 e xne-1, então P(x)>0.
  • Em x=-2 ou x=-1, P(x)=0 (proibido).
  • Para x<-2, x+2<0 e (x+1)^2>0, logo P(x)<0 (fora do domínio).

Passo 5

Da condição x+2>0 vem x>-2, e ainda excluímos x=-1. Isso dá o domínio
(-2,-1);cup;(-1,infty)

Resposta

O domínio de f é
(-2,-1)cup(-1,infty)

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