3^ a Questão Resolva a inequação
(3 x^3+7 x^2+3 x+2) e^raiz3-xx+7>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação\r
l(3x^3+7x^2+3x+2r),e^raiz3-xx+7>0 \r
O conteúdo envolve: domínio de expressão com radical e denominador, fato de que e^(cdot)>0 sempre, fatoração de polinômio cúbico e análise de sinais de uma função racional.

Passo 2

Determinamos o domínio da inequação:\r
  1. O radical exige 3 - x >= 0, ou seja x <= 3.\r
  2. O denominador não pode zerar, logo x neq -7.\r
    Portanto o domínio é\r
,xmid x<=3,;xneq-7

Passo 3

Observamos que para todo x em que raiz3-x está definido, \r
e^raiz3-x>0 \r
Logo a inequação\r
l(3x^3+7x^2+3x+2r),e^raiz3-xx+7>0 \r
é equivalente a\r
3x^3+7x^2+3x+2x+7>0 \r
no domínio x<=3,;xneq-7.

Passo 4

Fatoramos o numerador 3x^3+7x^2+3x+2. Testando raiz racional x=-2, obtemos\r
3(-2)^3+7(-2)^2+3(-2)+2=0, \r
então\r
3x^3+7x^2+3x+2=(x+2)(3x^2+x+1) \r
O discriminante de 3x^2+x+1 é De<a=1-12=-11<0, então 3x^2+x+1>0 para todo x. Assim o sinal do numerador é o mesmo de x+2.

Passo 5

Anotamos os pontos críticos na reta real (dentro do domínio até 3):\r
x=-7(denom=0), x=-2(num=0)

Passo 6

Fazemos a análise de sinais em cada intervalo de x<=3:\r
  • Para x<-7: x+2<0 e x+7<0, então x+2x+7>0. \r
  • Para -7<x<-2: x+2<0 e x+7>0, então x+2x+7<0. \r
  • Para -2<x<=3: x+2>0 e x+7>0, então x+2x+7>0. \r
    \r
    Lembrando que em x=-7 a expressão não está definida e em x=-2 o numerador zera (ficaria igual a zero, mas queremos estritamente >0).

Passo 7

Concluímos que a inequação vale exatamente quando\r
xin(-infty,-7);cup;(-2,3]

Resposta

(-infty,-7)cup(-2,3]

Exercícios relacionados