Dada a função f(x) encontre seu conjunto domínio.
f(x)=raiz5 x-6-x^28-2 x

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos o domínio de
f(x)=raiz5x-6-x^28-2x
Para isso precisamos que o radicando seja não-negativo, ou seja
5x-6-x^28-2x>=0
e que o denominador não se anule: 8-2xneq0.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
O numerador é
5x-6-x^2=-(x^2-5x+6)=-(x-2)(x-3)
O denominador é
8-2x=-2(x-4)
Logo o quociente fica
5x-6-x^28-2x =-(x-2)(x-3)-2(x-4) =(x-2)(x-3)2(x-4)

Passo 3

Como 2>0, a desigualdade
(x-2)(x-3)2(x-4)>=0
é equivalente a
(x-2)(x-3)x-4>=0,
com a ressalva de que xneq4.

Passo 4

Determinamos os pontos críticos x=2,3,4 e fazemos o quadro de sinais de (x-2)(x-3)x-4:
  • Em (-infty,2): numerador >0, denominador <0 ,Rightarrow quociente <0.
  • Em (2,3): numerador <0, denominador <0 ,Rightarrow quociente >0.
  • Em (3,4): numerador >0, denominador <0 ,Rightarrow quociente <0.
  • Em (4,infty): numerador >0, denominador >0 ,Rightarrow quociente >0.
    Nos pontos x=2 e x=3 o quociente vale zero (permitido), em x=4 dá divisão por zero (não permitido).

Resposta

O domínio de f é
[2,3]cup(4,infty)

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