Calcule.
\int_{0}^{1}\left(t \mathbf{i}+e^{t} \mathbf{j}\right) \mathrm{d} t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida do vetor função no intervalo de 0 a 1. As informações dadas são:
  • A função a integrar é \;t\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}\;.
  • O intervalo de integração é \;[0,1]\;.
    A pergunta é: qual é o valor de
\int_{0}^{1}\bigl(t\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}\bigr)\,\mathrm{d}t ?

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicado com calma): integrais de funções vetoriais são feitas componente a componente. Isso acontece porque \mathbf{i} e \mathbf{j} são vetores constantes (os versores da base), então a integral distribui sobre soma e constantes. Em termos práticos:
\int_{0}^{1}\bigl(t\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}\bigr)\,\mathrm{d}t = \left(\int_{0}^{1} t\,\mathrm{d}t\right)\mathbf{i} + \left(\int_{0}^{1} e^{t}\,\mathrm{d}t\right)\mathbf{j}.
Aqui cada integral escalar é uma integral comum de uma função real.

Passo 3

Agora vamos calcular cada uma das integrais escalares separadamente. Começando pela primeira:
\int_{0}^{1} t\,\mathrm{d}t.
Regra que vamos usar: uma primitiva de t é \dfrac{t^{2}}{2} porque, ao derivar \dfrac{t^{2}}{2}, obtém-se t. Em palavras: antiderivada de t é t^{2}/2.

Passo 4

Avaliar a primitiva nos limites:
\int_{0}^{1} t\,\mathrm{d}t = \left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 5

Agora a segunda integral:
\int_{0}^{1} e^{t}\,\mathrm{d}t.
Regra: a função e^{t} tem a propriedade muito prática de que sua própria primitiva é ela mesma, isto é, uma primitiva de e^{t} é e^{t}. (Porque a derivada de e^{t} é e^{t}.)

Passo 6

Avaliar essa primitiva nos limites:
\int_{0}^{1} e^{t}\,\mathrm{d}t = \left.e^{t}\right|_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e-1.

Passo 7

Juntando os dois resultados na forma vetorial (lembre que cada integral multiplica o versor correspondente):
\int_{0}^{1}\bigl(t\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}\bigr)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\,\mathbf{i} + (e-1)\,\mathbf{j}.

Passo 8

Verificação rápida (pra ficar confiante): se derivarmos componente a componente \dfrac{1}{2}\mathbf{i}+(e-1)\mathbf{j} em relação a t (no sentido de primitiva), obtemos t\mathbf{i}+e^{t}\mathbf{j} quando consideramos as primitivas usadas — isso confirma coerência entre primitiva e integrando.

Resposta

\dfrac{1}{2}\mathbf{i}+(e-1)\mathbf{j}

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