Primeiro conceito importante (explicado com calma): integrais de funções vetoriais são feitas componente a componente. Isso acontece porque \mathbf{i} e \mathbf{j} são vetores constantes (os versores da base), então a integral distribui sobre soma e constantes. Em termos práticos:
Regra: a função e^{t} tem a propriedade muito prática de que sua própria primitiva é ela mesma, isto é, uma primitiva de e^{t} é e^{t}. (Porque a derivada de e^{t} é e^{t}.)
Verificação rápida (pra ficar confiante): se derivarmos componente a componente \dfrac{1}{2}\mathbf{i}+(e-1)\mathbf{j} em relação a t (no sentido de primitiva), obtemos t\mathbf{i}+e^{t}\mathbf{j} quando consideramos as primitivas usadas — isso confirma coerência entre primitiva e integrando.