Calcule o comprimento de arco da curva dada por:
de
a
. Faça um esboço da curva. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
no intervalo de
a
.
Conteúdo: comprimento de arco de curva paramétrica. Para resolver, precisamos achar , calcular
e integrar de
a
.
Conteúdo: comprimento de arco de curva paramétrica. Para resolver, precisamos achar
Passo 2
Calcular a derivada
e seu módulo
Passo 3
Como
é uma função par em
, usamos simetria para simplificar a integral:
Passo 4
Fazemos a substituição
então
Calculando as potências:
logo
Passo 5
Multiplicando por
para obter
:
Passo 6
Esboço qualitativo da curva
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: (cúspide). - Para
: . - Para
: .
Um esboço aproximado em ASCII:
y
\uparrow
\(8\) * *
| \ / |
\(4\) | \ / |
| * |
\(0+\)---\(+\)---\(+\to\) x
-\(808\)
Resposta
Comprimento de arco:
Esboço conforme acima.