Calcule o comprimento de arco da curva dada por:
r(t)=t^{3} i+2 t^{2} j
de t=-2 a t=2. Faça um esboço da curva. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
r(t)=t^{3}\,\mathbf{i}+2t^{2}\,\mathbf{j}
no intervalo de t=-2 a t=2.
Conteúdo: comprimento de arco de curva paramétrica. Para resolver, precisamos achar r'(t), calcular \|r'(t)\| e integrar de -2 a 2.

Passo 2

Calcular a derivada
r'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\bigl(2t^{2}\bigr)\,\mathbf{j} =3t^{2}\,\mathbf{i}+4t\,\mathbf{j}
e seu módulo
\|r'(t)\|=\sqrt{(3t^{2})^{2}+(4t)^{2}} =\sqrt{9t^{4}+16t^{2}} =|t|\,\sqrt{9t^{2}+16}.

Passo 3

Como \|r'(t)\| é uma função par em t, usamos simetria para simplificar a integral:
L=\int_{-2}^{2}\|r'(t)\|\,dt =2\int_{0}^{2}t\sqrt{9t^{2}+16}\,dt.

Passo 4

Fazemos a substituição
u=9t^{2}+16,\quad du=18t\,dt\quad\Longrightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{18},
então
\int_{0}^{2}t\sqrt{9t^{2}+16}\,dt =\frac{1}{18}\int_{u(0)=16}^{u(2)=52}u^{1/2}\,du =\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{16}^{52} =\frac{1}{27}\Bigl(52^{3/2}-16^{3/2}\Bigr).
Calculando as potências:
16^{3/2}=64,\quad 52^{3/2}=(2\sqrt{13})^{3}=8\cdot13\sqrt{13}=104\sqrt{13},
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\int_{0}^{2}t\sqrt{9t^{2}+16}\,dt =\frac{1}{27}\bigl(104\sqrt{13}-64\bigr).

Passo 5

Multiplicando por 2 para obter L:
L=2\cdot\frac{1}{27}\bigl(104\sqrt{13}-64\bigr) =\frac{208\sqrt{13}-128}{27}.

Passo 6

Esboço qualitativo da curva (x(t),y(t))=(t^{3},2t^{2}):
  • Para t=-2: (-8,8).
  • Para t=-1: (-1,2).
  • Para t=0: (0,0) (cúspide).
  • Para t=1: (1,2).
  • Para t=2: (8,8).
Um esboço aproximado em ASCII:
    y
    \uparrow
 \(8\) *       *
   | \   / |
 \(4\) |  \ /  |
   |   *   |
 \(0+\)---\(+\)---\(+\to\) x
    -\(808\)

Resposta

Comprimento de arco:
L=\frac{208\sqrt{13}-128}{27}.
Esboço conforme acima.

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