( 0,5 \mathrm{pts} ) Calcule \frac{d y}{d x} onde y é definido pela equação da curva
\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)=y+x+1
e em seguida calcule a reta tangente à curva no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{dy}{dx} quando y está definida implicitamente por
\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=y+x+1
e, em seguida, determinar a reta tangente a essa curva no ponto (0,0). O conteúdo envolve derivação implícita e equação de reta tangente.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia para \cos(u) com u=x^2+y^2:
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(u)\bigr] =-\sin(u)\,\frac{du}{dx} =-\sin\bigl(x^2+y^2\bigr)\,(2x+2y\,y').
No lado direito,
\frac{d}{dx}(y+x+1)=y'+1.
Portanto,
-\sin\bigl(x^2+y^2\bigr)\,(2x+2y\,y') = y' + 1.

Passo 3

Isolamos y'. Primeiro expandimos:
-2x\sin(x^2+y^2)-2y\,y'\,\sin(x^2+y^2)=y'+1.
Agrupando os termos que contêm y':
-2y\sin(x^2+y^2)\,y' - y' = 2x\sin(x^2+y^2)+1 \quad\Longrightarrow\quad y'\bigl(-2y\sin(x^2+y^2)-1\bigr)=2x\sin(x^2+y^2)+1.
Logo,
y' = \frac{2x\sin(x^2+y^2)+1}{-2y\sin(x^2+y^2)-1}.

Passo 4

No ponto (0,0) temos \sin(0^2+0^2)=\sin0=0. Assim,
y'\bigl|_{(0,0)}=\frac{2\cdot0\cdot0+1}{-2\cdot0\cdot0-1}=\frac{1}{-1}=-1.

Passo 5

A reta tangente com coeficiente angular m=-1 passando por (0,0) é
y = -1\,(x-0)+0 \quad\Longrightarrow\quad y=-x.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2x\sin(x^2+y^2)+1}{-2y\sin(x^2+y^2)-1},\quad\text{reta tangente: }y=-x.

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