Calcule a derivada de f(x), e em seguida, encontre a reta tangente à função no ponto dado:
f(x)=\ln \left(x^{2}+x-1\right), em (1,0)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\bigl(x^{2}+x-1\bigr) e a reta tangente no ponto (1,0). Vamos usar a regra da cadeia para derivar o logaritmo natural e, em seguida, a fórmula da reta tangente (forma ponto-inclinação).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia: se f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), então
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=x^{2}+x-1, logo
u'(x)=2x+1
e portanto
f'(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x-1}.

Passo 3

Para achar o coeficiente angular da reta tangente em x=1, calculamos
f'(1)=\frac{2\cdot1+1}{1^{2}+1-1}=\frac{3}{1}=3.

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto \bigl(1,0\bigr) com inclinação m=3 usa a forma ponto-inclinação:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
logo
y - 0 = 3\,(x - 1),
y = 3x - 3.

Resposta

A reta tangente em (1,0) é
y = 3x - 3.

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