Calcule o comprimento de arco da curva de equação \mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+(\sin t) \mathbf{j}+t \mathbf{k}, \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k} para 0\le t\le 2\pi.
No conteúdo de curvas em espaço, usamos a fórmula do comprimento de arco
L = \int_{a}^{b} \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt.
Passo 2
Vamos calcular a derivada \mathbf{r}'(t).
Como \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t), temos
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t,1)
ou, em notação vetorial, \mathbf{r}'(t)=-\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}.