Calcule o comprimento de arco da curva de equação
\mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+(\sin t) \mathbf{j}+t \mathbf{k}, \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k} para 0\le t\le 2\pi.
No conteúdo de curvas em espaço, usamos a fórmula do comprimento de arco
L = \int_{a}^{b} \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \mathbf{r}'(t).
Como \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t), temos
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t,1)
ou, em notação vetorial,
\mathbf{r}'(t)=-\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}.

Passo 3

Agora, a norma de \mathbf{r}'(t) é
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert = \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} = \sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.

Passo 4

Substituindo na integral de comprimento de arco, obtemos
L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} = \sqrt{2}\,(2\pi-0) = 2\pi\sqrt{2}.

Resposta

2\pi\sqrt{2}

Exercícios relacionados