Determine o domínio da função vetorial dada por
\mathbf{r}(t)=(\ln t) \mathbf{i}+\frac{t}{t-1} \mathbf{j}+e^{-t} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial
\mathbf{r}(t)=(\ln t)\,\mathbf{i}+\frac{t}{t-1}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k}.
Para encontrar o domínio de \mathbf{r}(t), basta determinar os valores de t para os quais cada componente é bem definida e então tomar a interseção desses conjuntos.

Passo 2

Analisando \ln t: essa função está definida somente para
t>0.
Logo o domínio parcial é (0,\infty).

Passo 3

Analisando \frac{t}{t-1}: essa fração exige que o denominador seja diferente de zero, ou seja,
t-1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad t \neq 1.
Portanto o domínio parcial é \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 4

Analisando e^{-t}: a exponencial está definida para todo t\in\mathbb{R}.
Logo o domínio parcial é \mathbb{R}.

Passo 5

O domínio de \mathbf{r}(t) é a interseção
(0,\infty)\;\cap\;(\mathbb{R}\setminus\{1\})\;\cap\;\mathbb{R} =(0,\infty)\setminus\{1\}
que em intervalos se escreve como (0,1)\cup(1,\infty).

Resposta

(0,1)\cup(1,\infty).

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