Determinar uma equação geral das superfícies esféricas nas condições dadas:
Centro C=(0,-4,3) e tangente ao plano \pi: x+2 y+2 z=0.

Passo 1

O enunciado dá o centro da esfera em
C=(0,-4,3)
e diz que ela é tangente ao plano
\pi: x+2y+2z=0.
Queremos a equação geral da esfera. Para isso, vamos usar dois fatos:
  1. A distância d do centro C ao plano \pi deve ser igual ao raio r da esfera.
  2. A forma canônica de uma esfera de centro (x_0,y_0,z_0) e raio r é
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2.

Passo 2

Usamos a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano ax+by+cz+d=0:
d=\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui a=1, b=2, c=2 e d=0; e o ponto é C=(0,-4,3). Logo
d=\frac{\bigl|1\cdot0 +2\cdot(-4)+2\cdot3 + 0\bigr|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} =\frac{\bigl|-8+6\bigr|}{\sqrt{1+4+4}} =\frac{2}{3}.

Passo 3

Como a esfera é tangente ao plano, o raio r satisfaz
r = d = \frac{2}{3}.

Passo 4

Substituindo centro e raio na forma canônica, obtemos
(x-0)^2 + (y+4)^2 + (z-3)^2 = \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^2.
Isto é
x^2 + (y+4)^2 + (z-3)^2 = \frac{4}{9}.

Passo 5

Expandindo e colocando em forma geral x^2+y^2+z^2+2gx+2fy+2hz+d=0:
x^2 + y^2 +8y +16 + z^2 -6z +9 = \frac{4}{9},
x^2 + y^2 + z^2 +8y -6z +25 - \frac{4}{9} =0,
x^2 + y^2 + z^2 +8y -6z +\frac{221}{9} =0.

Resposta

A equação geral da esfera é
\boxed{x^2 + y^2 + z^2 +8y -6z + \frac{221}{9} = 0.}
Opcionalmente, multiplicando por 9:
\boxed{9x^2 +9y^2+9z^2 +72y -54z +221 = 0.}

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