Determinar uma equação geral das superfícies esféricas nas condições dadas:
Centro
e tangente ao plano
.
Centro
Passo 1
O enunciado dá o centro da esfera em
e diz que ela é tangente ao plano
Queremos a equação geral da esfera. Para isso, vamos usar dois fatos:
- A distância
do centro ao plano deve ser igual ao raio da esfera. - A forma canônica de uma esfera de centro
e raio é
Passo 2
Usamos a fórmula da distância de um ponto
ao plano
:
Aqui
,
,
e
; e o ponto é
. Logo
Passo 3
Como a esfera é tangente ao plano, o raio
satisfaz
Passo 4
Substituindo centro e raio na forma canônica, obtemos
Isto é
Passo 5
Expandindo e colocando em forma geral
:
Resposta
A equação geral da esfera é
Opcionalmente, multiplicando por
: