Seja \mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+\mathbf{j}-2 t \mathbf{k}. Calcule a integral definida \int_{0}^{\pi} \mathbf{r}(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida da função vetorial
\mathbf{r}(t) = (\cos t)\,\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2t\,\mathbf{k}
no intervalo de t=0 a t=\pi. Como se trata de uma integral de vetor, vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Componente em \mathbf{i}:
\int_{0}^{\pi} \cos t \,dt = \bigl[\sin t\bigr]_{0}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0.

Passo 3

Componente em \mathbf{j}:
\int_{0}^{\pi} 1 \,dt = \bigl[t\bigr]_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi.

Passo 4

Componente em \mathbf{k}:
\int_{0}^{\pi} (-2t)\,dt = -2 \int_{0}^{\pi} t\,dt = -2 \,\bigl[\tfrac{t^2}{2}\bigr]_{0}^{\pi} = -2 \cdot \frac{\pi^2}{2} = -\pi^2.

Passo 5

Juntando as três componentes, a integral vetorial fica
\int_{0}^{\pi}\mathbf{r}(t)\,dt = 0\,\mathbf{i} + \pi\,\mathbf{j} - \pi^2\,\mathbf{k} = \pi\,\mathbf{j} - \pi^2\,\mathbf{k}.

Resposta

\pi\,\mathbf{j} \;-\;\pi^{2}\,\mathbf{k}

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