Considere a espiral logarítmica parametrizada por sigma(t)=(e^b t cos t, e^b t sen t), onde b>0. Mostre que o comprimento de arco de sigma em [0, t] é dado por
Lsigma(t)=integral0^t|sigma^prime(t)| d t=raiz1+b^2b(e^b t-1)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da espiral logarítmica
sigma(t)=l( e^b tcos t,; e^b tsentr), b>0, no intervalo [0,t].
O conteúdo é cálculo de comprimento de curva no plano, usando a fórmula
Lsigma(t)=integral0^tl|sigma'(u)r|,du

Passo 2

Vamos achar a derivada sigma'(t). Como
sigma(t)=l(x(t),y(t)r) com
x(t)= e^b tcos t, y(t)= e^b tsent,
temos
x'(t)=ddtl( e^b tcos tr) = e^b t(bcos t-sin t),
y'(t)=ddtl( e^b tsentr) = e^b t(bsent+cos t)
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sigma'(t) =l( e^b t(bcos t-sin t),; e^b t(bsent+cos t)r)

Passo 3

Agora calculamos a norma de sigma'(t):
l|sigma'(t)r| =raizl( e^b t(bcos t-sin t)r)^2 +l( e^b t(bsent+cos t)r)^2
Fatorando e^b t e somando os quadrados dos parênteses, obtemos
l|sigma'(t)r| = e^b traiz(bcos t-sin t)^2+(bsent+cos t)^2 = e^b traizb^2+1

Passo 4

Substituímos no integral do comprimento de arco:
Lsigma(t) =integral0^tl|sigma'(u)r|,du =raizb^2+1integral0^t e^b u,du =raizb^2+1,l[1b e^b ur]0^t =raizb^2+1bl( e^b t-1r)

Resposta

Lsigma(t) =raiz1+b^2bl( e^b t-1r)

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