Considere a elipse
, em que
. Encontre
(a) Vetor velocidade
.
(b) Velocidade.
(c) Vetor aceleração
.
(d) Vetores Tangente
e Normal Unitário N. (Sgst.: Veja no Resumo de Aula (1) a Expressão para N).
(e) A curvatura
de r. (Sgst.: Veja no Resumo de Aula).
(a) Vetor velocidade
(b) Velocidade.
(c) Vetor aceleração
(d) Vetores Tangente
(e) A curvatura
Passo 1
Temos a curva paramétrica que descreve uma elipse:
com
. O conteúdo aqui é derivação de funções vetoriais para achar velocidade e aceleração, depois norma para a velocidade escalar, definição de versores tangente e normal unitário e, por fim, a curvatura segundo a fórmula em coordenadas planas.
Passo 2
Calculamos o vetor velocidade como derivada de
:
Passo 3
A velocidade escalar é a norma de
:
Passo 4
O vetor aceleração é a derivada de
:
Passo 5
O versor tangente unitário é
Para o versor normal unitário, usamos
, o que leva à expressão
Passo 6
A curvatura em coordenadas planas é
Substituindo
,
,
,
, obtemos
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Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)