Considere a elipse sigma(t): x(t)=a cos t, y(t)=b s e n t, em que a>b>0. Encontre
(a) Vetor velocidade v(t).
(b) Velocidade.
(c) Vetor aceleração a(t).
(d) Vetores Tangente T e Normal Unitário N. (Sgst.: Veja no Resumo de Aula (1) a Expressão para N).
(e) A curvatura kappa de r. (Sgst.: Veja no Resumo de Aula).

Passo 1

Temos a curva paramétrica que descreve uma elipse:
sigma(t) = l(x(t),y(t)r) = l(acos t,;bsin tr),
com a>b>0. O conteúdo aqui é derivação de funções vetoriais para achar velocidade e aceleração, depois norma para a velocidade escalar, definição de versores tangente e normal unitário e, por fim, a curvatura segundo a fórmula em coordenadas planas.

Passo 2

Calculamos o vetor velocidade como derivada de sigma(t):
v(t) = sigma'(t) = l(x'(t),,y'(t)r) = l(-asin t,;bcos tr)

Passo 3

A velocidade escalar é a norma de v(t):
|v(t)| = raizl(-asin tr)^2 + l(bcos tr)^2 = raiza^2sin^2t ;+; b^2cos^2t,

Passo 4

O vetor aceleração é a derivada de v(t):
a(t) = v'(t) = l((-asin t)',,(bcos t)'r) = l(-acos t,;-bsin tr)

Passo 5

O versor tangente unitário é
T(t) = v(t)|v(t)| = l(-asin t,;bcos tr)raiza^2sin^2t + b^2cos^2t
Para o versor normal unitário, usamos N = T'/|T'|, o que leva à expressão
N(t) = l(-bcos t,;-asin tr)raiza^2sin^2t + b^2cos^2t

Passo 6

A curvatura em coordenadas planas é
kappa(t) = lvert x'(t),y''(t) - y'(t),x''(t)rvert l(x'(t)^2 + y'(t)^2r)^3/2
Substituindo x'=-asin t, x''=-acos t, y'=bcos t, y''=-bsin t, obtemos
x'y'' - y'x'' = (-asin t)(-bsin t) - (bcos t)(-acos t) = ab(sin^2t + cos^2t) = ab,
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kappa(t) = abl(a^2sin^2t + b^2cos^2tr)^3/2

Resposta

(a) v(t)=l(-asin t,;bcos tr)
(b) |v(t)|=raiza^2sin^2t + b^2cos^2t
(c) a(t)=l(-acos t,;-bsin tr)
(d) T(t)=l(-asin t,;bcos tr)raiza^2sin^2t + b^2cos^2t, N(t)=l(-bcos t,;-asin tr)raiza^2sin^2t + b^2cos^2t
(e) kappa(t)=abl(a^2sin^2t + b^2cos^2tr)^3/2

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