Calcule o comprimento de arco da curva paramétrica para o intervalo dado:
x=t, y=23 t^3 / 2, t in[0,1]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma curva paramétrica dada por
x(t)=t, y(t)=tfrac23t^3/2 para tin[0,1].
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco, cuja fórmula é
L=integrala^braizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2;dt

Passo 2

Calcular as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt=1, dydt=23cdot32,t^1/2=t^1/2

Passo 3

Substituir na fórmula do comprimento de arco:
L=integral0^1raiz(1)^2+l(t^1/2r)^2;dt =integral0^1raiz1+t;dt

Passo 4

Calcular a integral
integral0^1raiz1+t;dt =integral0^1(1+t)^1/2;dt =[23(1+t)^3/2]0^1

Passo 5

Avaliar o resultado nos limites:
L =23l((1+1)^3/2-(1+0)^3/2r) =23l(2^3/2-1r) =2l(2raiz2-1r)3

Resposta

L=2l(2raiz2-1r)3

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