Esboce a curva dada em coordenada polares:
r=2 cos (theta), theta in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares r=2cos(theta) para thetain[0,2pi]. Vamos usar conteúdo de coordenadas polares, conversão para cartesianas e completar o quadrado para identificar a curva.

Passo 2

Em coordenadas polares temos as relações
x = rcos(theta),
y = rsin(theta)
Substituindo r=2cos(theta) obtemos as expressões
x = 2cos^2(theta),
y = 2sin(theta)cos(theta)

Passo 3

Para achar a equação cartesiana, calculamos r^2=x^2+y^2 e usamos rcos(theta)=x:
r^2 = 2rcos(theta)
ou seja
x^2 + y^2 = 2x

Passo 4

Agora completamos o quadrado em x^2 - 2x + y^2 =0:
x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1
que fica
(x-1)^2 + y^2 = 1

Passo 5

A equação cartesiana mostra que é uma circunferência de raio 1 e centro em (1,0). Note que para theta em que cos(theta)<0 o valor de r fica negativo, mas isso só reflete o ponto para o ângulo oposto, traçando o mesmo círculo.

Passo 6

Para esboçar, basta desenhar a circunferência de centro (1,0) e raio 1. Ela intercepta o eixo x em (0,0) e (2,0), é simétrica em relação ao eixo polar e é traçada completamente quando theta varre [0,2pi].

Resposta

A curva é a circunferência dada por (x-1)^2 + y^2 = 1, isto é, raio 1 e centro em (1,0).

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