Esboce a curva dada em coordenada polares:
r=1+theta / 4, theta in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva dada em coordenadas polares pela equação
r = 1 + theta4, theta in [0,2pi]
O conteúdo aqui é o estudo de curvas polares, em particular uma spirial arquimediana deslocada, pois r cresce linearmente com theta. Para esboçar, vamos calcular valores de r em ângulos característicos e depois unir esses pontos de forma suave.

Passo 2

Vamos determinar r para theta=0, tfracpi2, pi, tfrac3pi2, 2pi:
r(0) = 1 + 04 = 1,
rl(tfracpi2r) = 1 + tfracpi24 = 1 + pi8 approx 1,39,
r(pi) = 1 + pi4 approx 1,79,
rl(tfrac3pi2r) = 1 + tfrac3pi24 = 1 + 3pi8 approx 2,18,
r(2pi) = 1 + 2pi4 = 1 + pi2 approx 2,57

Passo 3

Em um sistema de coordenadas polares, trace um círculo de raio aproximado 1 no sentido theta=0, marque em theta=tfracpi2 um ponto a distância 1,39, em theta=pi um ponto a 1,79, em theta=tfrac3pi2 um ponto a 2,18 e em theta=2pi um ponto a 2,57. Esses pontos determinam um contorno que gira uma volta completa enquanto o raio aumenta.

Passo 4

União esses pontos com uma curva suave e crescente em theta. Como r cresce linearmente, não há “voltinhas” ou auto-interseções: a curva é uma espiral que se afasta do ponto de origem à medida que theta vai de 0 até 2pi.

Resposta

A curva é uma espiral arquimediana deslocada, que inicia em (r,theta)=(1,0) e dá exatamente uma volta completa até (r,theta)approx(2,57,2pi), afastando-se gradualmente da origem.

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