Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral x^3x^2+1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^3x^2+1,dx
aplicando técnicas de primitiva, em particular simplificação do integrando e substituição. Vamos primeiro reescrever o integrando de forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Observe que
x^3x^2+1 = xcdotx^2x^2+1 = xcdot(x^2+1)-1x^2+1 = x - xx^2+1
Com isso, a integral se separa em duas parcelas mais simples.

Passo 3

Escrevendo a divisão em duas integrais:
integral x^3x^2+1,dx = integral x,dx ;-;integral xx^2+1,dx

Passo 4

A primeira parcela é imediata:
integral x,dx = x^22

Passo 5

Para a segunda parcela, usamos substituição. Seja
u = x^2+1, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Logo,
integral xx^2+1,dx = integral 1u,du2 = 12integral duu = 12lnl|ur| = 12lnl(x^2+1r)

Passo 6

Reunindo as duas parcelas, obtemos a primitiva geral:
integral x^3x^2+1,dx = x^22 - 12lnl(x^2+1r) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x^22 - 12lnl(x^2+1r) + C

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