Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral 3 x+15 x^2-4 x+2 d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva
integral 3x+15x^2-4x+2,dx
Usaremos a técnica de decompor o numerador em uma parte proporcional à derivada do denominador e uma parte constante, o que leva a uma soma de um logaritmo e de uma função arco-tangente.

Passo 2

Escrevemos
3x+1 = A,(10x-4) + B
porque 10x-4 é a derivada de 5x^2-4x+2. Igualando coeficientes:
10A = 3, -4A + B = 1
Logo
A = tfrac310, B = 1 + 4A = 1 + tfrac1210 = tfrac115

Passo 3

Com isso dividimos a integral:
integral 3x+15x^2-4x+2,dx = 310integral 10x-45x^2-4x+2,dx + 115integral 15x^2-4x+2,dx

Passo 4

A primeira parte é imediata por substituição u=5x^2-4x+2:
310integral 10x-45x^2-4x+2,dx = 310lnl|5x^2-4x+2r|

Passo 5

Na segunda parte completamos o quadrado no denominador:
5x^2-4x+2 = 5l[(x-tfrac25)^2 + tfrac625r] =5l[(x-tfrac25)^2 + (tfracraiz65)^2r]
Então
integral 15x^2-4x+2,dx = 15integral 1(x-tfrac25)^2+(tfracraiz65)^2,dx = 1raiz6arctan!l(x-tfrac25tfracraiz65r)
Multiplicando por tfrac115 fica
115integral 15x^2-4x+2,dx = 115raiz6arctan!l(5x-2raiz6r)

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos a primitiva geral
integral 3x+15x^2-4x+2,dx = 310lnl(5x^2-4x+2r) + 115raiz6arctan!l(5x-2raiz6r) + C

Resposta

boxedintegral 3x+15x^2-4x+2,dx = 310lnl(5x^2-4x+2r) + 115raiz6arctan!l(5x-2raiz6r) + C

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