Calcule o comprimento de arco da curva paramétrica para o intervalo dado:
x=3 t+2, y=2 t^3 / 2+1, t in[0,3]

Passo 1

O enunciado pede calcular o comprimento de arco da curva paramétrica definida por
x=3t+2, y=2t^3/2+1
no intervalo tin[0,3]. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos usar a fórmula apropriada.

Passo 2

A fórmula geral para comprimento de arco é
L = integrala^b raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2 , dt
Aqui,
tfracdxdt = 3
e
tfracdydt = 2 cdot tfrac32,t^1/2 = 3,t^1/2

Passo 3

Substituindo as derivadas na fórmula, o integrando fica
raiz(tfracdxdt)^2 + (tfracdydt)^2 = raiz3^2 + (3,t^1/2)^2 = raiz9 + 9t = 3raiz1+t
Logo,
L = integral0^3 3raiz1+t,dt

Passo 4

Para avaliar integral0^3raiz1+t,dt, faça a mudança de variável u=1+t, de modo que du=dt e os limites vão de u(0)=1 a u(3)=4. Assim,
L = 3integral1^4 u^1/2,du = 3l[tfrac23u^3/2r]1^4 = 2l(4^3/2-1^3/2r) = 2(8-1) = 14

Resposta

O comprimento de arco da curva é 14.

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