Calcule o comprimento de arco da curva paramétrica para o intervalo dado:
x=2 cos (t), y=2 sen(t), t in[0, pi / 4]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
x=2cos(t), y=2sin(t), tin[0,pi/4]
O conteúdo que precisamos é a fórmula do comprimento de arco de uma curva dada por parâmetros:
L=integrala^braizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em função de t:
dxdt=-2sin(t), dydt=2cos(t)

Passo 3

Montamos o integrando da fórmula e simplificamos:
l(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 =(-2sin t)^2+(2cos t)^2 =4sin^2t+4cos^2t =4,
logo
raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 =2

Passo 4

Substituindo na integral de 0 a pi/4:
L=integral0^pi/42;dt =2l[tr]0^pi/4 =2cdotpi4 =pi2

Resposta

pi2

Exercícios relacionados