Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral raizxx-1 d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raizx,x-1,,dx
O conteúdo envolvido é técnicas de integração: usaremos substituição para simplificar a raiz e depois decomposição em frações parciais para integrar a parte racional resultante.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = raizx,Rightarrow,x = t^2, dx = 2t,dt,
a integral vira
integral raizxx-1,dx = integral tt^2-1,(2t,dt) = 2 integral t^2t^2-1,dt

Passo 3

Para integrar
integral t^2t^2-1,dt
fazemos a divisão algébrica
t^2t^2-1 = 1 + 1t^2-1,
de modo que
2 integral t^2t^2-1,dt = 2integral 1,dt ;+;2integral 1t^2-1,dt

Passo 4

A primeira parte é imediata:
2integral 1,dt = 2t
Para a segunda parte usamos frações parciais:
1t^2-1 = 12l(1t-1-1t+1r),
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2integral 1t^2-1,dt = 2cdot12integrall(1t-1-1t+1r)dt = lnl|t-1r| - lnl|t+1r|

Passo 5

Somando as duas partes obtemos em t:
2t + lnl|t-1r| - lnl|t+1r| + C = 2t + ln!l|t-1t+1r| + C
Voltando para x com t=raizx, a primitiva final é
2raizx ;+;ln!l|raizx-1raizx+1r|+C

Resposta

2raizx + ln!l|raizx-1raizx+1r| + C

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