Calcule a derivada da função dada:
F(t)=(t^2+cos (t), e^t, t^3+4 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada de uma função vetorial. A gente vai precisar saber como derivar funções componentes individualmente, usando as regras básicas de derivação como a regra do poder, a derivada do cosseno e a derivada da exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função: t^2 + cos(t) . Para derivar isso, aplicamos a regra do poder e a derivada do cosseno. A derivada de t^2 é 2t e a derivada de cos(t) é -sin(t) . Então, a derivada da primeira componente fica:
2t - sin(t)

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: e^t . A derivada da função exponencial e^t é simplesmente e^t . Então, a derivada da segunda componente é:
e^t

Passo 4

Por último, vamos derivar a terceira componente: t^3 + 4t . Usamos novamente a regra do poder. A derivada de t^3 é 3t^2 e a derivada de 4t é 4 . Assim, a derivada da terceira componente é:
3t^2 + 4

Resposta

A derivada da função F(t) é:
F'(t) = (2t - sin(t), e^t, 3t^2 + 4)

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