Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral (sen(x)+2) cos (x)sen^2(x)+sen(x)-2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral (sin(x)+2),cos(x)sin^2(x)+sin(x)-2,dx
Usaremos o método de substituição, pois vemos sin(x) no denominador e cos(x),dx no numerador, o que sugere escolher u=sin(x).

Passo 2

Definimos a substituição
u = sin(x), du = cos(x),dx
Note que não precisamos nos preocupar com sin(x)=-2 porque isso não ocorre para x real, então a substituição é válida globalmente.

Passo 3

Em termos de u, a integral fica
integral (u+2)u^2+u-2,du
Observe que o denominador fatora como
u^2+u-2 = (u+2)(u-1)

Passo 4

Fazendo a fatoração, temos
integral u+2(u+2)(u-1),du = integral 1u-1,du,
pois u+2 cancela.

Passo 5

Agora integramos diretamente
integral 1u-1,du = lnl|u-1r| + C

Passo 6

Voltando à variável original x, lembrando que u=sin(x), obtemos
lnl|sin(x)-1r| + C

Resposta

lnl|sin(x)-1r| + C

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