Seja f(x, y)=2 x+y e considere C o segmento de reta que vai de (1,2) a (2,-4).
Calcule a integral de linha integralC f(x, y) d s.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar
f(x,y)=2x+y
ao longo do segmento de reta C que vai de (1,2) a (2,-4).
O que precisamos é parametrizar C, obter ds, compor f com a parametrização e integrar.

Passo 2

Parametrizamos C por um parâmetro tin[0,1]:
x(t)=1+t, y(t)=2-6t
Então
dxdt=1, dydt=-6
e
ds=raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt =raiz1^2+(-6)^2,dt=raiz37,dt

Passo 3

Agora compomos f com (x(t),y(t)):
fl(x(t),y(t)r)=2(1+t)+(2-6t)=4-4t
Logo a integral torna-se
integralC f(x,y),ds =integral0^1(4-4t),l(raiz37r),dt =raiz37integral0^1(4-4t),dt
Calculando,
integral0^1(4-4t),dt =l[4t-2t^2r]0^1 =4-2=2,
portanto
integralC f(x,y),ds =2raiz37

Resposta

integralCf(x,y),ds = 2raiz37

Exercícios relacionados