Seja
r(t)=(2 t, 2 e^t, e^-t)
Determine o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário principal N(t) e o vetor binormal B(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por r(t) = (2t, 2e^t, e^-t) e precisa encontrar três vetores importantes associados a essa curva: o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário principal N(t) e o vetor binormal B(t). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, r,'(t). Isso nos dá o vetor velocidade da curva.
r,'(t) = (ddt(2t), ddt(2e^t), ddt(e^-t)) = (2, 2e^t, -e^-t)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor tangente unitário T(t). Para isso, normalizamos o vetor velocidade, ou seja, dividimos r,'(t) pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de r,'(t):
|r,'(t)| = raiz2^2 + (2e^t)^2 + (-e^-t)^2 = raiz4 + 4e^2t + e^-2t
Então, o vetor tangente unitário é:
T(t) = r,'(t)|r,'(t)| = (2, 2e^t, -e^-t)raiz4 + 4e^2t + e^-2t

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal unitário principal N(t). Para isso, primeiro derivamos T(t) em relação a t, obtendo T,'(t), e depois normalizamos esse vetor.
Vamos derivar cada componente de T(t):
T,'(t) = ddt( 2raiz4 + 4e^2t + e^-2t, 2e^traiz4 + 4e^2t + e^-2t, -e^-traiz4 + 4e^2t + e^-2t )
Esse cálculo pode ser um pouco trabalhoso, mas envolve utilizar a regra do quociente e a regra da cadeia. Após derivar, obtemos T,'(t). Depois, calculamos o módulo de T,'(t) e então dividimos T,'(t) pelo seu módulo para obter N(t):
N(t) = T,'(t)|T,'(t)|

Passo 5

Por último, vamos encontrar o vetor binormal B(t). Esse vetor é obtido fazendo o produto vetorial entre T(t) e N(t):
B(t) = T(t) times N(t)
Esse vetor B(t) é perpendicular tanto a T(t) quanto a N(t), formando um sistema de coordenadas ortogonais ao longo da curva.

Resposta

Os vetores solicitados são:
T(t) = (2, 2e^t, -e^-t)raiz4 + 4e^2t + e^-2t,
N(t) = T,'(t)|T,'(t)|,
B(t) = T(t) times N(t)
Esses vetores formam a base de Frenet-Serret para a curva dada.

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