Seja
Determine o vetor tangente unitário
, o vetor normal unitário principal
e o vetor binormal
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por
e precisa encontrar três vetores importantes associados a essa curva: o vetor tangente unitário
, o vetor normal unitário principal
e o vetor binormal
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
. Isso nos dá o vetor velocidade da curva.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor tangente unitário
. Para isso, normalizamos o vetor velocidade, ou seja, dividimos
pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o vetor normal unitário principal
. Para isso, primeiro derivamos
em relação a
, obtendo
, e depois normalizamos esse vetor.
Vamos derivar cada componente de
:
Esse cálculo pode ser um pouco trabalhoso, mas envolve utilizar a regra do quociente e a regra da cadeia. Após derivar, obtemos
. Depois, calculamos o módulo de
e então dividimos
pelo seu módulo para obter
:
Passo 5
Por último, vamos encontrar o vetor binormal
. Esse vetor é obtido fazendo o produto vetorial entre
e
:
Esse vetor
é perpendicular tanto a
quanto a
, formando um sistema de coordenadas ortogonais ao longo da curva.
Resposta
Os vetores solicitados são:
Esses vetores formam a base de Frenet-Serret para a curva dada.