Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada, para .
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de calcular o comprimento de arco de duas curvas parametrizadas para no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Para isso, precisamos derivar a função vetorial que descreve a curva, calcular a magnitude dessa derivada e integrar essa magnitude no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) da questão, onde a curva é dada por:
Para encontrar a derivada de , que é , derivamos cada componente em relação a :
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude da derivada :
Essa expressão representa a velocidade ao longo da curva.
Passo 4
Com a magnitude da derivada em mãos, configuramos a integral para o comprimento de arco :
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Para integrar , podemos usar uma substituição trigonométrica ou uma tabela de integrais. A integral resultante é:
Novamente, usaremos a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas, precisando derivar r(t) , calcular a magnitude da derivada e integrar no intervalo [0,1].