Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada, para t in[0,1].
(a) r(t)=(1+t) i+(1-t^2) j
(b) r(t)=(1-t^2) i+(t^2+t^3) j+(1+t^2-t^3) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular o comprimento de arco de duas curvas parametrizadas para t no intervalo [0,1]. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Para isso, precisamos derivar a função vetorial que descreve a curva, calcular a magnitude dessa derivada e integrar essa magnitude no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) da questão, onde a curva é dada por:
r(t) = (1 + t)i + (1 - t^2)j
Para encontrar a derivada de r(t) , que é r'(t) , derivamos cada componente em relação a t :
r'(t) = ddt(1 + t)i + ddt(1 - t^2)j = i - 2tj

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da derivada r'(t) :
|r'(t)| = raiz(1)^2 + (-2t)^2 = raiz1 + 4t^2
Essa expressão representa a velocidade ao longo da curva.

Passo 4

Com a magnitude da derivada em mãos, configuramos a integral para o comprimento de arco S :
S = integral0^1 |r'(t)| , dt = integral0^1 raiz1 + 4t^2 , dt

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Para integrar raiz1 + 4t^2 , podemos usar uma substituição trigonométrica ou uma tabela de integrais. A integral resultante é:
S = t2 raiz1 + 4t^2 + 14 sinh^-1(2t) |0^1
Calculando os limites de integração:
S = 12 raiz5 + 14 sinh^-1(2) - (0 + 14 sinh^-1(0))
Como sinh^-1(0) = 0 , simplificamos:
S = raiz52 + 14 sinh^-1(2)
Aproximando os valores:
S approx 2.2362 + 14 times 1.4436 approx 1.118 + 0.3609 approx 1.4789

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício, onde a curva é dada por:
r(t) = (1 - t^2)i + (t^2 + t^3)j + (1 + t^2 - t^3)k
Novamente, usaremos a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas, precisando derivar r(t) , calcular a magnitude da derivada e integrar no intervalo [0,1].

Passo 7

Primeiro, encontramos a derivada de r(t) :
r'(t) = ddt(1 - t^2)i + ddt(t^2 + t^3)j + ddt(1 + t^2 - t^3)k = (-2t)i + (2t + 3t^2)j + (2t - 3t^2)k

Passo 8

Calculamos a magnitude da derivada r'(t) :
|r'(t)| = raiz(-2t)^2 + (2t + 3t^2)^2 + (2t - 3t^2)^2 = raiz4t^2 + (4t^2 + 12t^3 + 9t^4) + (4t^2 - 12t^3 + 9t^4)
Simplificando dentro da raiz:
|r'(t)| = raiz4t^2 + 4t^2 + 12t^3 + 9t^4 + 4t^2 - 12t^3 + 9t^4 = raiz12t^2 + 18t^4 = raiz6t^2(2 + 3t^2) = raiz6traiz2 + 3t^2

Passo 9

Configuramos a integral para o comprimento de arco S :
S = integral0^1 |r'(t)| , dt = raiz6 integral0^1 t raiz2 + 3t^2 , dt
Para resolver essa integral, faremos uma substituição.

Passo 10

Vamos usar a substituição u = 2 + 3t^2 , então du = 6t , dt ou t , dt = du6 . Alterando os limites:
  • Para t = 0 , u = 2
  • Para t = 1 , u = 5
A integral fica:
raiz6 integral2^5 raizu6 , du = raiz66 integral2^5 u^1/2 , du = raiz66 [ 23 u^3/2 ]2^5 = raiz66 times 23 (5^3/2 - 2^3/2)
Simplificando:
S = raiz69 (5raiz5 - 2raiz2) approx 2.4499 (11.180 - 2.828) approx 0.272 times 8.352 approx 2.275

Resposta

O comprimento de arco da curva na parte (b) é aproximadamente 2,28 unidades.

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