Use a regra da cadeia para calcular d zd t, onde:
f(x, y)=ln (1+x^2+y^2), onde x=x(t)=sen(3 t) e y=y(t)=cos (3 t)

Passo 1

O enunciado pede calcular dzdt para
z = f(x,y) = lnl(1+x^2+y^2r),
com
x(t)=sin(3t), y(t)=cos(3t)
Vamos usar a regra da cadeia em várias variáveis:
dzdt = partial fpartial x,dxdt + partial fpartial y,dydt

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Como f(u)=ln(u) com u=1+x^2+y^2, vale
partial fpartial x = 11+x^2+y^2cdot 2x = 2x1+x^2+y^2,
partial fpartial y = 2y1+x^2+y^2

Passo 3

Derivadas de x(t) e y(t):
dxdt = ddtl[sin(3t)r] =3cos(3t),
dydt = ddtl[cos(3t)r] =-3sin(3t)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia e substituindo x=sin(3t), y=cos(3t):
dzdt = 2sin(3t)1+sin^2(3t)+cos^2(3t)cdot 3cos(3t) + 2cos(3t)1+sin^2(3t)+cos^2(3t)cdotl(-3sin(3t)r)
Como sin^2(3t)+cos^2(3t)=1, o denominador é 2, ficando
dzdt = 2sin(3t)2,3cos(3t) - 2cos(3t)2,3sin(3t) =3l[sin(3t)cos(3t)-cos(3t)sin(3t)r]

Passo 5

Observamos que sin(3t)cos(3t)-cos(3t)sin(3t)=0. Logo
dzdt=0

Resposta

dzdt=0

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