Use a regra da cadeia para calcular \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v}, onde:
z=\frac{x}{y}, onde x=x(u, v)=u e^{v} e y=y(u, v)=1+u e^{-v}

Passo 1

Legal, vamos resumir o que o enunciado pede e o conteúdo que vamos usar. Queremos calcular
partial zpartial u e partial zpartial v
para
z = xy, x = x(u,v) = u,e^v, y = y(u,v) = 1 + u,e^-v
O conteúdo principal é a regra da cadeia em funções de várias variáveis, usando também a regra do quociente para derivar z em relação a x e y.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de z(x,y)=x/y em relação a x e y. Usando z = xcdot y^-1, temos
partial zpartial x = 1y, partial zpartial y = -,xy^2

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a u. Como x(u,v)=u,e^v e y(u,v)=1+u,e^-v,
partial xpartial u = e^v, partial ypartial u = e^-v

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para partial z/partial u:
partial zpartial u = partial zpartial x,partial xpartial u + partial zpartial y,partial ypartial u = 1y,e^v + l(-xy^2r),e^-v
Substituindo x = u,e^v e agrupando termos:
partial zpartial u = e^vy - uy^2 = e^v,y - uy^2
Como e^v,y = e^v(1+u,e^-v) = e^v + u, o numerador vira e^v+u - u = e^v. Portanto
partial zpartial u = e^vy^2 = e^vl(1+u,e^-vr)^2

Passo 5

Derivamos x e y em relação a v. De x = u,e^v e y = 1+u,e^-v vem
partial xpartial v = u,e^v, partial ypartial v = -,u,e^-v

Passo 6

Aplicamos a regra da cadeia para partial z/partial v:
partial zpartial v = partial zpartial x,partial xpartial v + partial zpartial y,partial ypartial v = 1y(u,e^v) + l(-xy^2r),(-u,e^-v)
Substituindo x = u,e^v e organizando:
partial zpartial v = u,e^vy + u^2y^2 = u,e^v,y + u^2y^2
Como u,e^v,y = u,e^v(1+u,e^-v) = u,e^v + u^2, o numerador fica u,e^v +2u^2. Logo
partial zpartial v = u,e^v + 2u^2y^2 = u,e^v + 2u^2l(1+u,e^-vr)^2

Resposta

partial zpartial u = e^vl(1+u,e^-vr)^2, partial zpartial v = u,e^v + 2u^2l(1+u,e^-vr)^2

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