Use a regra da cadeia para calcular \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v}, onde:
z=\frac{x}{y}, onde x=x(u, v)=u e^{v} e y=y(u, v)=1+u e^{-v}
z=\frac{x}{y}, onde x=x(u, v)=u e^{v} e y=y(u, v)=1+u e^{-v}
Passo 1
Legal, vamos resumir o que o enunciado pede e o conteúdo que vamos usar. Queremos calcular
e
para
para
O conteúdo principal é a regra da cadeia em funções de várias variáveis, usando também a regra do quociente para derivar
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas parciais de
em relação a
e
. Usando
, temos
Passo 3
Agora derivamos
e
em relação a
. Como
e
,
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia para
:
Substituindo
e agrupando termos:
Como
, o numerador vira
. Portanto
Passo 5
Derivamos
e
em relação a
. De
e
vem
Passo 6
Aplicamos a regra da cadeia para
:
Substituindo
e organizando:
Como
, o numerador fica
. Logo