Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x, y, z)=5 x^2-3 x y+ x y z.
a) Determine a taxa de variação do potencial em P=(3,4,5) na direção do vetor v=i+j+k.
b) Em que direção V varia mais rapidamente em P ?
c) Qual a taxa máxima de variação em P ?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=5x^2-3xy+xyz
e pede (a) a derivada direcional em P=(3,4,5) na direção de vec v = vec i+vec j+vec k, (b) a direção de variação mais rápida em P e (c) a taxa máxima de variação em P.
O conteúdo é derivada direcional e gradiente de uma função de várias variáveis.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de V, isto é,
nabla V = l(partial Vpartial x,,partial Vpartial y,,partial Vpartial zr)
Usando derivadas parciais, temos
partial Vpartial x = 10x - 3y + yz, partial Vpartial y = -3x + xz, partial Vpartial z = xy

Passo 3

Agora avaliamos nabla V em P=(3,4,5):
partial Vpartial x(3,4,5) = 10cdot3 - 3cdot4 + 4cdot5 = 30 - 12 + 20 = 38,
partial Vpartial y(3,4,5) = -3cdot3 + 3cdot5 = -9 + 15 = 6,
partial Vpartial z(3,4,5) = 3cdot4 = 12
Portanto
nabla V(3,4,5) = (38,,6,,12)

Passo 4

Para a derivada direcional na direção de vec v=(1,1,1) precisamos do vetor unitário
vec u = vec v|vec v| = 1raiz1+1+1,(1,1,1) = 1raiz3,(1,1,1)

Passo 5

A derivada direcional de V em P ao longo de vec u é
Dvec uV(3,4,5) = nabla V(3,4,5)cdot vec u = (38,6,12)cdot1raiz3(1,1,1) = 38+6+12raiz3 = 56raiz3

Passo 6

A direção de variação mais rápida de V em P é dada pelo próprio gradiente em P, ou seja,
nabla V(3,4,5) = (38,,6,,12)

Passo 7

A taxa máxima de variação em P é o módulo do gradiente em P:
|nabla V(3,4,5)| = raiz38^2 + 6^2 + 12^2 = raiz1444 + 36 + 144 = raiz1624 = 2raiz406

Resposta

a) 56raiz3.
b) Na direção de nabla V(3,4,5) = (38,6,12).
c) 2raiz406.

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