Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico
seja dado por
.
a) Determine a taxa de variação do potencial em
na direção do vetor
.
b) Em que direção
varia mais rapidamente em
?
c) Qual a taxa máxima de variação em
?
a) Determine a taxa de variação do potencial em
b) Em que direção
c) Qual a taxa máxima de variação em
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico
e pede (a) a derivada direcional em
na direção de
, (b) a direção de variação mais rápida em
e (c) a taxa máxima de variação em
.
O conteúdo é derivada direcional e gradiente de uma função de várias variáveis.
O conteúdo é derivada direcional e gradiente de uma função de várias variáveis.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de
, isto é,
Usando derivadas parciais, temos
Passo 3
Agora avaliamos
em
:
Portanto
Passo 4
Para a derivada direcional na direção de
precisamos do vetor unitário
Passo 5
A derivada direcional de
em
ao longo de
é
Passo 6
A direção de variação mais rápida de
em
é dada pelo próprio gradiente em
, ou seja,
Passo 7
A taxa máxima de variação em
é o módulo do gradiente em
:
Resposta
a)
.
b) Na direção de .
c) .
b) Na direção de
c)