Use transformada de laplace para resolver os problemas de valor inicial.
y^prime prime+5 y^prime+4 y=0, y(0)=1 cdot y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' + 5y' + 4y = 0, y(0)=1, y'(0)=0
O conteúdo aqui é o método da transformada de Laplace em equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos usar as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando L em cada termo da EDO e usando as condições iniciais, temos
Ly'' + 5,Ly' + 4,Ly = 0
l(s^2Y(s)-scdot1-0r) +5l(sY(s)-1r) +4Y(s)=0
Agrupando termos em Y(s):
l(s^2+5s+4r)Y(s);-;s;-;5;=;0

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) =s+5s^2+5s+4 =s+5(s+1)(s+4)

Passo 4

Fazendo frações parciais:
s+5(s+1)(s+4) =As+1+Bs+4,
onde
s+5 = A(s+4)+B(s+1)
Tomando s=-1 4=3ARightarrow A=tfrac43.
Tomando s=-4 1=-3BRightarrow B=-tfrac13.
Logo
Y(s)=4/3s+1-1/3s+4

Passo 5

Conhecendo que L^-1tfrac1s+a=e^-at, aplicamos a transformada inversa:
y(t) =43e^-1cdot t -13e^-4cdot t

Resposta

y(t)=43e^-t-13e^-4t

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