Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada
\vec{r}(t)=(1+t) \vec{i}+\left(1-t^{2}\right) \vec{j},
definida para -1 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada
\vec{r}(t) = (1+t)\,\vec{i} + \bigl(1 - t^2\bigr)\,\vec{j},
para t variando de -1 a 1. O conteúdo principal é o cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica, que usamos pela fórmula
L = \int_{a}^{b} \bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada vetor
\vec r\,'(t) = \frac{d}{dt}\bigl((1+t),\,1-t^{2}\bigr) = \bigl(1,\,-2t\bigr)
e sua norma
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\| = \sqrt{1^{2} + (-2t)^{2}} = \sqrt{1 + 4t^{2}}.

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L = \int_{-1}^{1} \sqrt{1 + 4t^{2}}\;dt.

Passo 4

A integral é par, então
L = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4t^{2}}\;dt.
Fazendo a substituição u = 2t, temos dt = \tfrac12\,du e, quando t vai de 0 a 1, u vai de 0 a 2. Logo
L = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4t^{2}}\;dt = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{1 + u^{2}}\;\frac{du}{2} = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + u^{2}}\;du.

Passo 5

Usamos a primitiva conhecida
\int \sqrt{1 + u^{2}}\;du = \frac{u}{2}\,\sqrt{1 + u^{2}} + \frac{1}{2}\,\ln\bigl(u + \sqrt{1 + u^{2}}\bigr)
e avaliamos de 0 a 2:
L = \Bigl[\tfrac{u}{2}\sqrt{1+u^{2}} + \tfrac{1}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{1+u^{2}}\bigr)\Bigr]_{0}^{2} = \Bigl(\tfrac{2}{2}\sqrt{5} + \tfrac12\ln(2+\sqrt{5})\Bigr) - \Bigl(0 + \tfrac12\ln(1)\Bigr) = \sqrt{5} + \tfrac12\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Resposta

O comprimento de arco é
L = \sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln\bigl(2 + \sqrt{5}\bigr).

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