Exercício 2. Dada a função vetorial
\vec{r}(t)=t^{2} \vec{i}+e^{t} \vec{j}-2 \cos (\pi t) \vec{k}
Calcule:
a) \lim _{t \rightarrow 0} \vec{r}(t)
b) \vec{r}^{\prime}(t)
c) \vec{r}^{\prime}(1)
d) \int_{0}^{1} \vec{r}(t)
e) \int \vec{r}(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
\vec{r}(t)=t^{2}\,\vec{i}+e^{t}\,\vec{j}-2\cos(\pi t)\,\vec{k}
e pede, em sequência: o limite em t\to0, a derivada \vec{r}^{\prime}(t), seu valor em t=1, a integral definida de 0 a 1 e a integral indefinida. Como é um função vetorial, vamos tratar cada componente separadamente.

Passo 2

Para calcular \lim_{t\to0}\vec{r}(t), basta avaliar cada componente no ponto t=0:
\lim_{t\to0}t^{2}=0,\quad \lim_{t\to0}e^{t}=1,\quad \lim_{t\to0}[-2\cos(\pi t)]=-2\cos(0)=-2.
Logo,
\lim_{t\to0}\vec{r}(t)=0\,\vec{i}+1\,\vec{j}-2\,\vec{k}.

Passo 3

A derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Temos
\frac{d}{dt}(t^{2})=2t,\quad \frac{d}{dt}(e^{t})=e^{t},\quad \frac{d}{dt}\bigl[-2\cos(\pi t)\bigr]=-2\bigl[-\sin(\pi t)\bigr]\cdot\pi=2\pi\sin(\pi t).
Portanto,
\vec{r}^{\prime}(t)=2t\,\vec{i}+e^{t}\,\vec{j}+2\pi\sin(\pi t)\,\vec{k}.

Passo 4

Para \vec{r}^{\prime}(1), substituímos t=1:
2\cdot1=2,\quad e^{1}=e,\quad 2\pi\sin(\pi\cdot1)=2\pi\cdot0=0.
Logo,
\vec{r}^{\prime}(1)=2\,\vec{i}+e\,\vec{j}+0\,\vec{k}.

Passo 5

A integral definida de \vec{r}(t) de 0 a 1 é feita componente a componente:
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}e^{t}\,dt=\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1}=e-1,
\int_{0}^{1}-2\cos(\pi t)\,dt=-2\int_{0}^{1}\cos(\pi t)\,dt =-\frac{2}{\pi}\bigl[\sin(\pi t)\bigr]_{0}^{1} =0.
Portanto,
\int_{0}^{1}\vec{r}(t)\,dt=\frac{1}{3}\,\vec{i}+(e-1)\,\vec{j}+0\,\vec{k}.

Passo 6

A integral indefinida também é feita componente a componente, mais uma constante vetorial \vec{C}=C_{1}\,\vec{i}+C_{2}\,\vec{j}+C_{3}\,\vec{k}:
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}+C_{1},\quad \int e^{t}\,dt=e^{t}+C_{2},\quad \int -2\cos(\pi t)\,dt=-\frac{2}{\pi}\sin(\pi t)+C_{3}.
Logo,
\int \vec{r}(t)\,dt =\frac{t^{3}}{3}\,\vec{i}+e^{t}\,\vec{j}-\frac{2}{\pi}\sin(\pi t)\,\vec{k}+\vec{C}.

Resposta

a) \displaystyle \lim_{t\to0}\vec{r}(t)=0\,\vec{i}+1\,\vec{j}-2\,\vec{k}.
b) \displaystyle \vec{r}'(t)=2t\,\vec{i}+e^{t}\,\vec{j}+2\pi\sin(\pi t)\,\vec{k}.
c) \displaystyle \vec{r}'(1)=2\,\vec{i}+e\,\vec{j}+0\,\vec{k}.
d) \displaystyle \int_{0}^{1}\vec{r}(t)\,dt=\tfrac{1}{3}\,\vec{i}+(e-1)\,\vec{j}+0\,\vec{k}.
e) \displaystyle \int \vec{r}(t)\,dt=\tfrac{t^{3}}{3}\,\vec{i}+e^{t}\,\vec{j}-\tfrac{2}{\pi}\sin(\pi t)\,\vec{k}+\vec{C}.

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