Exercício 3. Expresse as equações paramétricas abaixo como uma única equação vetorial:
x(t)=2 \cos (t) ; y(t)=t+\operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado pede para reunir as equações paramétricas
\;x(t)=2\cos(t)\; e \;y(t)=t+\operatorname{sen}(t)
numa única equação vetorial. O conteúdo é representação vetorial de curvas no plano, em que usamos o vetor posição \mathbf{r}(t) para agrupar as componentes x(t) e y(t).

Passo 2

Definimos o vetor posição em função de t como
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j},
onde \mathbf{i} e \mathbf{j} são os vetores unitários nos eixos x e y.

Passo 3

Substituímos x(t)=2\cos(t) e y(t)=t+\operatorname{sen}(t) em \mathbf{r}(t), obtendo
\mathbf{r}(t)=2\cos(t)\,\mathbf{i}+\bigl(t+\operatorname{sen}(t)\bigr)\,\mathbf{j}.

Resposta

\boxed{\mathbf{r}(t)=2\cos(t)\,\mathbf{i}+\bigl(t+\operatorname{sen}(t)\bigr)\,\mathbf{j}}

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