Calcule o comprimento de arco da curva x^{2}=(2 y)^{3} entre os pontos (x, y) tais que 1 \leq x \leq 2 \sqrt{2}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva definida por x^{2}=(2y)^{3} e queremos o comprimento de arco entre x=1 e x=2\sqrt{2}. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva y(x) e vamos usar a fórmula
L = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Expressamos y em função de x. Da equação
x^{2} = (2y)^{3}
segue
y^{3} = \frac{x^{2}}{8},
portanto
y(x) = \frac{x^{2/3}}{2}.

Passo 3

Calculamos a derivada y'(x):
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{2/3}}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\,x^{-1/3} = \frac{1}{3}\,x^{-1/3}.

Passo 4

Montamos a integral de comprimento de arco:
L = \int_{1}^{2\sqrt{2}} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx
com
1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2} = 1 + \frac{1}{9}\,x^{-2/3} = \frac{9\,x^{2/3}+1}{9\,x^{2/3}},
logo
\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}} = \frac{\sqrt{9\,x^{2/3}+1}}{3\,x^{1/3}}.
Assim
L = \int_{1}^{2\sqrt{2}} \frac{\sqrt{9\,x^{2/3}+1}}{3\,x^{1/3}}\;dx.

Passo 5

Para facilitar, fazemos a substituição t = x^{1/3}, daí x = t^{3} e dx = 3\,t^{2}\,dt. Os limites viram t(1)=1 e t(2\sqrt{2})=(2\sqrt{2})^{1/3}=\sqrt{2}. A integral fica
L = \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{9\,t^{2}+1}}{3\,t}\; 3\,t^{2}\,dt = \int_{1}^{\sqrt{2}} t\,\sqrt{9\,t^{2}+1}\;dt.

Passo 6

Para integrar usamos u = 9\,t^{2}+1, logo du = 18\,t\,dt e t\,dt = \tfrac{du}{18}. Assim
\int t\,\sqrt{9\,t^{2}+1}\,dt = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{18} = \frac{1}{18}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{18}\cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{1}{27}\,u^{3/2}.
Voltando a t,
\int t\,\sqrt{9\,t^{2}+1}\,dt = \frac{1}{27}\,(9\,t^{2}+1)^{3/2}.

Passo 7

Avaliamos entre t=1 e t=\sqrt{2}:
L = \frac{1}{27}\Bigl[(9\,(\sqrt{2})^{2}+1)^{3/2} - (9\cdot1^{2}+1)^{3/2}\Bigr] = \frac{1}{27}\Bigl[19^{3/2} - 10^{3/2}\Bigr] = \frac{19\sqrt{19} - 10\sqrt{10}}{27}.

Resposta

L = \frac{19\sqrt{19} - 10\sqrt{10}}{27}.

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