Exercício 80. Calcule \iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z, onde W é região limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=16,3 \leq z \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dx\,dy\,dz
onde W é o cilindro definido por x^{2}+y^{2}\le16 e 3\le z\le4.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas cilíndricas, em que
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
e o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a região W fica
0\le r\le4,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 3\le z\le4.
Além disso,
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+z^{2},
e
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Montamos a integral em ordem dz, dr, d\theta:
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{4} \int_{z=3}^{4} \bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{3}^{4}\bigl(r^{2}+z^{2}\bigr)\,r\,dz = \int_{3}^{4}\bigl(r^{3}+r\,z^{2}\bigr)\,dz = r^{3}(4-3)+r\frac{4^{3}-3^{3}}{3} = r^{3}+\frac{37\,r}{3} =\frac{3r^{3}+37r}{3}.

Passo 5

Agora integramos em r:
\int_{0}^{4}\frac{3r^{3}+37r}{3}\,dr =\frac{1}{3}\Bigl[3\cdot\frac{r^{4}}{4}+37\cdot\frac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{4} =\frac{1}{3}\bigl(192+296\bigr) =\frac{488}{3}.

Passo 6

Por fim integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{488}{3}\,d\theta =\frac{488}{3}\,2\pi =\frac{976\pi}{3}.

Resposta

\frac{976\pi}{3}.

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